background image

18.4. IDENTITY STAROIDS AND MULTIFUNCOIDS

290

Really,

Z

l

i

n

\{

k

}

L

i

u

(

X

t

Y

)

6 A ⇔

Z

l

i

n

\{

k

}

L

i

u

X

t

Z

l

i

n

\{

k

}

L

i

u

Y

6 A ⇔

Z

l

i

n

\{

k

}

L

i

u

X

6 A ∨

Z

l

i

n

\{

k

}

L

i

u

Y

6 A

.

Proposition

1497

.

Let (

A

;

Z

) be a distributive lattice filtrator with least ele-

ment and finitely join-closed core which is a join semilattice. ID

Strd

A

[

n

]

is a completary

staroid for every

A ∈

A

.

Proof.

A

is a free star by theorem

314

.

L

0

t

L

i

GR ID

Strd

A

[

n

]

⇔ ∀

i

n

: (

L

0

t

L

i

)

i

A ⇔ ∀

i

n

:

L

0

i

t

L

1

i

A ⇔

i

n

: (

L

0

i

A ∨

L

1

i

A

)

⇔ ∃

c

∈ {

0

,

1

}

n

i

n

:

L

c

(

i

)

i

A ⇔

c

∈ {

0

,

1

}

n

: (

λi

n

:

L

c

(

i

)

i

)

GR ID

Strd

A

[

n

]

.

Lemma

1498

.

X

GR id

Strd

A

[

n

]

Cor

0

d

A

i

n

X

i

6 A

for a join-closed filtrator

(

A

;

Z

) such that both

A

and

Z

are complete lattices, provided that

A ∈

A

.

Proof.

X

GR id

Strd

A

[

n

]

d

Z

i

n

X

i

6 A ⇔

Cor

0

d

A

i

n

X

i

6 A

.

Conjecture

1499

.

id

Strd

A

[

n

]

is a completary staroid for every set-theoretic filter

A

.

Proposition

1500

.

Let each (

A

i

;

Z

i

) for

i

n

(where

n

is an index set) is a

finitely join-closed filtrator, such that each

A

i

and each

Z

i

are join-semilattices. If

f

is a completary staroid of the form

A

then

f

is a completary staroid of the

form

Z

.

FiXme

: Move this proposition (and note its corollary).

Proof.

L

0

t

Z

L

1

GR

f

L

0

t

Z

L

1

GR

f

L

0

t

A

L

1

GR

f

c

∈ {

0

,

1

}

n

: (

λi

n

:

L

c

(

i

)

i

)

GR

f

c

∈ {

0

,

1

}

n

: (

λi

n

:

L

c

(

i

)

i

)

GR

f

for every

L

0

, L

1

Q

Z

.

Conjecture

1501

.

id

Strd

A

[

n

]

is a completary staroid if

A

is a filter on a set

and

n

is an index set.

18.4.4. Special case of sets and filters.

Proposition

1502

.

Z

n

X

GR id

Strd

a

[

n

]

⇔ ∀

A

a

:

Q

X

6

id

A

[

n

]

for every

filter

a

on a powerset and index set

n

.

Proof.

A

a

:

Y

X

6

id

A

[

n

]

⇔ ∀

A

a

:

\

i

n

X

i

A

6

=

∅ ⇔ ∀

A

a

:

P

l

i

n

Z

X

i

6↑

A

P

l

i

n

(

Z

n

X

i

)

6

a

P

l

i

n

(

Z

n

X

)

i

6

a

⇔↑

Z

n

X

GR id

a

[

n

]

.