background image

18.4. IDENTITY STAROIDS AND MULTIFUNCOIDS

289

Obvious

1491

.

If

A

is complete lattice, then

L ∈

GR ID

Strd

A

[

n

]

d

L 6 A

.

Obvious

1492

.

If

A

is complete lattice and

a

is an atom, then

L ∈

GR ID

Strd

a

[

n

]

d

L w

a

.

Obvious

1493

.

If

A

is a complete lattice then there exists a multifuncoid

Λ ID

Strd

A

[

n

]

such that

h

Λ ID

Strd

A

[

n

]

i

k

L

=

d

i

n

L

i

u A

for every

k

n

,

L

A

n

\{

k

}

.

Proposition

1494

.

If (

A

;

Z

) is a meet-closed filtrator and

Z

is a complete

lattice and

A

is a meet-semilattice. There exists a multifuncoid Λ id

Strd

A

[

n

]

such that

h

Λ id

Strd

A

[

n

]

i

k

L

=

d

Z

i

n

L

i

u

A

A

for every

k

n

,

L

Z

n

\{

k

}

.

Proof.

We need to prove that

L

∪ {

(

k

;

X

)

} ∈

id

Strd

A

[

n

]

d

Z

i

n

L

i

u

A

A 6

A

X

.

But

Z

l

i

n

L

i

u

A

A 6

A

X

Z

l

i

n

L

i

u

A

X

6

A

A ⇔

Z

l

i

n

(

L

∪ {

(

k

;

X

)

}

)

i

6

A

A ⇔

L

∪ {

(

k

;

X

)

} ∈

id

Strd

A

[

n

]

.

18.4.3. Identities are staroids.

Proposition

1495

.

Let

A

be a complete distributive lattice and

A ∈

A

. Then

ID

Strd

A

[

n

]

is a staroid.

Proof.

That

L /

GR ID

Strd

A

[

n

]

if

L

k

= 0 for some

k

n

is obvious. It remains

to prove

L

∪{

(

k

;

X

t

Y

)

} ∈

GR ID

Strd

A

[

n

]

L

∪{

(

k

;

X

)

} ∈

GR ID

Strd

A

[

n

]

L

∪{

(

k

;

Y

)

} ∈

GR ID

Strd

A

[

n

]

.

It is equivalent to

l

i

n

\{

k

}

L

i

u

(

X

t

Y

)

6 A ⇔

l

i

n

\{

k

}

L

i

u

X

6 A ∨

l

i

n

\{

k

}

L

i

u

Y

6 A

.

Really,

l

i

n

\{

k

}

L

i

u

(

X

t

Y

)

6 A ⇔

l

i

n

\{

k

}

L

i

u

X

t

l

i

n

\{

k

}

L

i

u

Y

6 A ⇔

l

i

n

\{

k

}

L

i

u

X

6 A ∨

l

i

n

\{

k

}

L

i

u

Y

6 A

.

Proposition

1496

.

Let (

A

;

Z

) be a starrish filtrator over a complete meet

infinite distributive lattice and

A ∈

A

. Then id

Strd

A

[

n

]

is a staroid.

Proof.

That

L /

GR id

Strd

A

[

n

]

if

L

k

=

for some

k

n

is obvious. It remains

to prove

L

∪{

(

k

;

X

t

Y

)

} ∈

GR id

Strd

A

[

n

]

L

∪{

(

k

;

X

)

} ∈

GR id

Strd

A

[

n

]

L

∪{

(

k

;

Y

)

} ∈

GR id

Strd

A

[

n

]

.

It is equivalent to

Z

l

i

n

\{

k

}

L

i

u

(

X

t

Y

)

6 A ⇔

Z

l

i

n

\{

k

}

L

i

u

X

6 A ∨

Z

l

i

n

\{

k

}

L

i

u

Y

6 A

.