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18.4. IDENTITY STAROIDS AND MULTIFUNCOIDS

288

2

1

Let

Y

Z

.

G

X

6 h

f

i

k

(

L

∪ {

(

l

;

Y

)

}

)

Y

6 h

f

i

l

L

n

k

;

G

X

o

Y

6

G

x

X

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k

;

x

)

}

)

(proposition

411

)

x

X

:

Y

6 h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k

;

x

)

}

)

⇔ ∃

x

X

:

x

6 h

f

i

k

(

L

(

l

;

Y

))

.

It is equivalent (proposition

1474

and the fact that [

f

] is an upper

set) to

h

f

i

k

(

L

∪ {

(

l

;

Y

)

}

) being a principal filter and thus (val [

f

])

l

L

being

a complete free star.

1

3

.

Y

6 h

f

i

l

L

n

k

;

G

X

o

G

X

6 h

f

i

k

(

L

∪ {

(

l

;

Y

)

}

)

x

X

:

x

6 h

f

i

k

(

L

∪ {

(

l

;

Y

)

}

)

⇔ ∃

x

X

:

Y

6 h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k

;

x

)

}

)

Y

6

G

x

X

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k

;

x

)

}

)

for every principal

Y

.

18.4. Identity staroids and multifuncoids

18.4.1. Identity relations.

Denote id

A

[

n

]

=

λi

n

:

x

x

A

 

=

n

n

×{

x

}

x

A

o

the

n

-ary

identity relation on a set

A

(for each index set

n

).

Proposition

1486

.

Q

X

6

id

A

[

n

]

T

i

n

X

i

A

6

=

.

Proof.

Y

X

6

id

A

[

n

]

⇔ ∃

t

A

:

n

×{

t

} ∈

Y

X

⇔ ∃

t

A

i

n

:

t

X

i

\

i

n

X

i

A

6

=

.

18.4.2. General definitions of identity staroids.

Consider a filtrator

(

A

;

Z

) and

A ∈

A

.

I will define below

small identity staroids

id

Strd

A

[

n

]

and

big identity staroids

ID

Strd

A

[

n

]

.

That they are really staroids and even completary staroids (under certain condi-

tions) is proved below.

Definition

1487

.

Consider a filtrator (

A

;

Z

). Let

Z

be a complete lattice. Let

A ∈

A

, let

n

be an index set.

form id

Strd

A

[

n

]

=

Z

n

;

L

GR id

Strd

A

[

n

]

Z

l

i

n

L

i

A

.

Obvious

1488

.

X

GR id

Strd

A

[

n

]

⇔ ∀

A

up

A

:

d

Z

i

n

X

i

u

A

6

= 0 if our filtrator

is with separable core.

Definition

1489

.

The subset

X

of a poset

A

has a nontrivial lower bound

(I

denote this predicate as MEET(

X

)) iff there is nonleast

a

A

such that

x

X

:

a

v

x

.

Definition

1490

.

Staroid ID

Strd

A

[

n

]

(for any

A ∈

A

where

A

is a poset) is defined

by the formulas:

form ID

Strd

A

[

n

]

=

A

n

;

L ∈

GR ID

Strd

A

[

n

]

MEET

L

i

i

n

∪ {A}

.