background image

18.3. COMPLETE STAROIDS AND MULTIFUNCOIDS

287

2

There exists a principal filter

F

such that

S

=

F

.

A

G

T

S

up

A

G

T

S

⇔ ∀

K

up

A

G

T

:

K

F ⇔

K

up

A

G

T

:

K

6 F ⇔

A

G

T

6 F ⇔

A

G

T

?

F ⇔ ∃K ∈

T

:

K ∈

?

F ⇔

∃K ∈

T

:

K 6 F ⇔ ∃K ∈

T

K

up

K

:

K

6 F ⇔ ∃K ∈

T

K

up

K

:

K

F ⇔

∃K ∈

T

: up

K ⊆

S

⇔ ∃K ∈

T

:

K ∈

S

T

S

6

=

.

⊥ ∈

S

up

⊥ ⊆

S

⇔ ⊥ ∈

S

what is false.

Corollary

1480

.

If

S

is a complete free star on

F

then

S

is a complete

free star on

P

, provided that

Z

is a complete lattice.

18.3.3. Complete staroids and multifuncoids.

Definition

1481

.

Consider an indexed family

Z

of posets. A pre-staroid

f

of

the form

Z

is

complete

in argument

k

arity

f

when (val

f

)

k

L

is a complete free

star for every

L

Q

i

(arity

f

)

\{

k

}

Z

i

.

Definition

1482

.

Consider an indexed family (

A

i

;

Z

i

) of filtrators and pre-

multifuncoid

f

is of the form

Q

Z

. Then

f

is

complete

in argument

k

arity

f

iff

h

f

i

k

L

Z

k

for every family

L

Q

i

(arity

f

)

\{

k

}

Z

i

.

Proposition

1483

.

Consider an indexed family (

F

i

;

Z

i

) of primary filtrators

over boolean lattices. Let

f

be a pre-multifuncoid of the form

F

and

k

arity

f

.

The following are equivalent:

1

. Pre-multifuncoid

f

is complete in argument

k

.

2

. Pre-staroid

[

f

] is complete in argument

k

.

Proof.

Let

L

Q

Z

. We have

L

GR [

f

]

L

i

6 h

f

i

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

;

(val [

f

])

k

L

=

h

f

i

k

L

by the theorem

1279

.

So (val [

f

])

k

L

is a complete free star iff

h

f

i

k

L

Z

k

(proposition

1474

for every

L

Q

i

(arity

f

)

\{

k

}

Z

i

.

Example

1484

.

Consider funcoid

f

= id

FCD

(

U

)

. It is obviously complete in

each its two arguments. Then [

f

] is not complete in each of its two arguments

because (

X

;

Y

)

[

f

]

⇔ X 6 Y

what does not generate a complete free star if one of

the arguments (say

X

) is a fixed nonprincipal filter.

Theorem

1485

.

Consider a semifiltered, star-separable, down-aligned filtrator

(

A

;

Z

) with finitely meet closed and separable core where

Z

is a complete boolean

lattice and both

Z

and

A

are atomistic lattices.

Let

f

be a multifuncoid of the aforementioned form. Let

k, l

arity

f

and

k

6

=

l

. The following are equivalent:

1

.

f

is complete in the argument

k

.

2

.

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k

;

F

X

)

}

) =

F

x

X

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k

;

x

)

}

) for every

X

P

Z

k

,

L

Q

i

(arity

f

)

\{

k,l

}

Z

i

.

3

.

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k

;

F

X

)

}

) =

F

x

X

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k

;

x

)

}

) for every

X

P

A

k

,

L

Q

i

(arity

f

)

\{

k,l

}

Z

i

.

Proof.

3

2

Obvious.