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18.3. COMPLETE STAROIDS AND MULTIFUNCOIDS

285

18.3.1.1.

Completely starrish posets.

Definition

1466

.

I will call a poset

completely starrish

when the full star

?a

is a complete free star for every element

a

of this poset.

Obvious

1467

.

Every completely starrish poset is starrish.

Proposition

1468

.

Every complete join infinite distributive lattice is starrish.

Proof.

Let

A

be a join infinite distributive lattice,

a

A

. Obviously

/

?a

(if

exists); obviously

?a

is an upper set. If

F

T

?a

, then (

F

T

)

u

a

is non-least

that is

F

h

a

ui

T

is non-least what is equivalent to

a

u

x

being non-least for some

x

T

that is

x

?a

.

Theorem

1469

.

If

A

is a completely starrish complete lattice lattice then

atoms

G

T

=

[

h

atoms

i

T.

for every

T

P

A

.

Proof.

For every atom

c

we have:

c

atoms

G

T

c

6

G

T

G

T

?c

⇔ ∃

X

T

:

X

?c

X

T

:

X

6

c

⇔ ∃

X

T

:

c

atoms

X

c

[

h

atoms

i

T.

18.3.2. More on free stars and complete free stars.

Obvious

1470

.

F

=

?

F

for an element

F

of down-aligned finitely meet

closed filtrator.

Corollary

1471

.

F

=

?

F

for every filter

F

on a poset.

Proposition

1472

.

?

F

=

F

for an element

F

of a filtrator with separable

core.

Proof.

X ∈

F ⇔

up

X ⊆

F ⇔ ∀

X

up

X

:

X

6 F ⇔ X 6 F ⇔ X ∈

?

F

.

Corollary

1473

.

?

F

=

F

for every filter

F

on a distributive lattice with

least element.

Proposition

1474

.

For a semifiltered, star-separable, down-aligned filtrator

(

A

;

Z

) with finitely meet closed and separable core where

Z

is a complete boolean

lattice and both

Z

and

A

are atomistic lattices the following conditions are equiv-

alent for any

F ∈

A

:

1

.

F ∈

Z

.

2

.

F

is a complete free star on

Z

.

3

.

?

F

is a complete free star on

F

.

Proof.

1

2

That

F

does not contain the least element is obvious. That

F

is an

upper set is obvious. So it remains to apply theorem

320

.

2

3

That

?

F

does not contain the least element is obvious. That

?

F

is an

upper set is obvious. So it remains to apply theorem

320

.

3

1

Apply theorem

320

.

Corollary

1475

.

For a filter

F ∈

F

on a complete atomic boolean lattice the

following conditions are equivalent: