background image

18.3. COMPLETE STAROIDS AND MULTIFUNCOIDS

284

From the above it follows that staroids on filters do not correspond (by restric-

tion) to staroids on principal filters (or staroids on sets).

18.3. Complete staroids and multifuncoids

18.3.1. Complete free stars.

FiXme

: This section should be integrated into

the chapter about filters and free stars.

Definition

1461

.

Let

A

be a poset.

Complete free stars

on

A

are such

S

P

A

that the least element (if it exists) is not in

S

and for every

T

P

A

Z

A

: (

X

T

:

Z

w

X

Z

S

)

T

S

6

=

.

Obvious

1462

.

Every complete free star is a free star.

Proposition

1463

.

S

P

A

where

A

is a poset is a complete free star iff all

the following:

1

. The least element (if it exists) is not in

S

.

2

.

Z

A

: (

X

T

:

Z

w

X

Z

S

)

T

S

6

=

.

3

.

S

is an upper set.

Proof.

. 1 and 2 are obvious.

S

is an upper set because

S

is a free star.

. We need to prove that

Z

A

: (

X

T

:

Z

w

X

Z

S

)

T

S

6

=

.

Let

X

0

T

S

. Then

X

T

:

Z

w

X

Z

w

X

0

Z

S

because

S

is

an upper set.

Proposition

1464

.

Let

S

be a complete lattice.

S

P

A

is a complete free

star iff all the following:

1

. The least element (if it exists) is not in

S

.

2

.

F

T

S

T

S

6

=

for every

T

P

S

.

3

.

S

is an upper set.

Proof.

. We need to prove only

F

T

S

T

S

6

=

. Let

F

T

S

. Because

S

is an

upper set, we have

X

T

:

Z

w

X

Z

w

F

T

Z

S

from which we

conclude

T

S

6

=

.

. We need to prove only

Z

A

: (

X

T

:

Z

w

X

Z

S

)

T

S

6

=

.

Really, if

Z

A

: (

X

T

:

Z

w

X

Z

S

) then

F

T

S

and

thus

F

T

S

T

S

6

=

.

Proposition

1465

.

Let

A

be a complete lattice.

S

P

A

is a complete free

star iff the least element (if it exists) is not in

S

and for every

T

P

A

G

T

S

T

S

6

=

.

Proof.

. We need to prove only

F

T

S

T

S

6

=

what follows from that

S

is an

upper set.

. We need to prove only that

S

is an upper set. To prove this we can use the

fact that

S

is a free star.