 CHAPTER 18

Identity staroids

FiXme

: Should it be a separate chapter? Some materials here are not suitable

for this chapter.

Proposition

1453

.

h

f

i

k

X

X

up

Q

i

n

\{

k

}

A

i

;

Q

i

n

\{

k

}

Z

i

X

is a filter base on

A

k

for every family (

A

i

;

Z

i

) of filtrators where

i

n

for some index set

n

(provided

that

f

is a multifuncoid of the form

Z

and

k

n

and

X ∈

Q

i

n

\{

k

}

A

i

).

Proof.

Let

K

,

L ∈

n

h

f

i

k

X

X

up

X

o

. Then there exist

X, Y

up

X

such that

K

=

h

f

i

k

X

,

L

=

h

f

i

k

Y

. We can take

Z

up

X

such that

Z

v

X, Y

. Then evidently

h

f

i

k

Z

v K

and

h

f

i

k

Z

v L

and

h

f

i

k

Z

n

h

f

i

k

X

X

up

X

o

.

FiXme

: The following proposition seems erroneous and even a nonsense because

of difference between

h

f

i

and

h

f

i

. Should remove it after checking that nothing

below depends on it. (Check again.)

Proposition

1454

.

h

f

i

k

X

=

d

X

up

X

h

f

i

k

X

for a filtrator

Q

i

n

\{

k

}

F

i

;

Q

i

n

\{

k

}

P

i

(

i

n

for some index set

n

) where every

Z

i

is a

boolean lattice,

k

n

, and

X ∈

Q

i

n

\{

k

}

F

i

.

Proof.

F

k

is separable by obvious

403

(

F

k

;

P

k

) is with separable core by

theorem

379

.

Y 6 h

f

i

i

X ⇔ X ∪ {

(

i

;

Y

)

} ∈

GR [

f

]

⇔ X ∪ {

(

i

;

Y

)

} ∈

GR [

f

]

up(

X ∪ {

(

i

;

Y

)

}

)

GR [

f

]

⇔ ∀

X

up

X

, Y

up

Y

:

X

∪ {

(

i

;

Y

)

} ∈

GR [

f

]

X

up

X

, Y

up

Y

:

Y

6 h

f

i

i

X

⇔ ∀

X

up

X

, Y

up

Y

:

Y

u h

f

i

i

X

6

= 0

Y

up

Y

:

/

Y

u h

f

i

i

X

X

up

X

Y

up

Y

:

/

∈ h

Y

ui

h

f

i

i

X

X

up

X

(by properties of generalized filter bases)

Y

up

Y

:

l

h

Y

ui

h

f

i

i

X

X

up

X

6

=

⊥ ⇔

Y

up

Y

:

Y

u

l

h

f

i

i

X

X

up

X

6

=

⊥ ⇔

Y

up

Y

:

Y

6

l

X

up

X

h

f

i

i

X

⇔ Y 6

l

X

up

X

h

f

i

i

X

;

282