background image

CHAPTER 3

More on order theory

3.1. Straight maps and separation subsets

3.1.1. Straight maps.

Definition

160

.

Let

f

be a monotone map from a meet-semilattice

A

to some

poset

B

. I call

f

a

straight

map when

a, b

A

: (

f a

v

f b

f a

=

f

(

a

u

b

))

.

Proposition

161

.

The following statements are equivalent for a monotone

map

f

:

1

.

f

is a straight map.

2

.

a, b

A

: (

f a

v

f b

f a

v

f

(

a

u

b

)).

3

.

a, b

A

: (

f a

v

f b

f a

6

A

f

(

a

u

b

)).

4

.

a, b

A

: (

f a

A

f

(

a

u

b

)

f a

6v

f b

).

Proof.

1

2

3

Due

f a

w

f

(

a

u

b

).

3

4

Obvious.

Remark

162

.

The definition of straight map can be generalized for any poset

A

by the formula

a, b

A

: (

f a

v

f b

⇒ ∃

c

A

: (

c

v

a

c

v

b

f a

=

f c

))

.

This generalization is not yet researched however.

Proposition

163

.

Let

f

be a monotone map from a meet-semilattice

A

to a

meet-semilattice

B

. If

a, b

A

:

f

(

a

u

b

) =

f a

u

f b

then

f

is a straight map.

Proof.

Let

f a

v

f b

. Then

f

(

a

u

b

) =

f a

u

f b

=

f a

.

Proposition

164

.

Let

f

be a monotone map from a meet-semilattice

A

to

some poset

B

. If

a, b

A

: (

f a

v

f b

a

v

b

)

then

f

is a straight map.

Proof.

f a

v

f b

a

v

b

a

=

a

u

b

f a

=

f

(

a

u

b

).

Theorem

165

.

If

f

is a straight monotone map from a meet-semilattice

A

then

the following statements are equivalent:

1

.

f

is an injection.

2

.

a, b

A

: (

f a

v

f b

a

v

b

).

3

.

a, b

A

: (

a

@

b

f a

@

f b

).

4

.

a, b

A

: (

a

@

b

f a

6

=

f b

).

28