background image

17.18. CONJECTURES

279

Proof.

Let

n

=

{

0

,

1

}

. Let GR

a

=

{

(0; 1)

,

(1; 0)

}

and

f

=

J

{

(0; 1)

}

,

{

(1; 0)

}

K

,

g

=

J

{

(1; 0)

}

,

{

(0; 1)

}

K

.

For every

{

0

,

1

}

-indexed family of

µ

of functions:

L

StarComp(

a

;

µ

)

⇔ ∃

y

a

: (

y

0

µ

0

L

0

y

1

µ

1

L

0

L

1

)

y

0

dom

µ

0

, y

1

dom

µ

1

: (

y

0

µ

0

L

0

L

0

y

1

µ

1

L

0

L

1

)

for every

n

-ary relation

µ

.

Consequently

L

StarComp(

a

;

f

)

L

0

= 1

L

1

= 0

L

= (0; 1)

that is StarComp(

a

;

f

) =

{

(1; 0)

}

. Similarly

StarComp(

a

;

g

) =

{

(0; 1)

}

.

Also

L

StarComp(

a

;

f

t

g

)

y

0

, y

1

∈ {

0

,

1

}

: ((

y

0

f

0

L

0

y

0

g

0

L

0

)

(

y

1

f

1

L

1

y

1

g

1

L

1

))

.

Thus

StarComp(

a

;

f

t

g

) =

{

(0; 1)

,

(1; 0)

,

(0; 0)

,

(1; 1)

}

.

Corollary

1437

.

The above inequality is possible also for star-morphisms of

funcoids and star-morphisms of reloids.

Proof.

Because finitary funcoids and reloids between finite sets are essentially

the same as finitary relations and our proof above works for binary relations.

17.18. Conjectures

Remark

1438

.

Below I present special cases of possible theorems. The theo-

rems may be generalized after the below special cases are proved.

Conjecture

1439

.

For every two funcoids

f

and

g

we have:

1

. (

RLD

)

in

a

f

×

(

DP

)

g

(

RLD

)

in

b

a

f

×

(

C

)

g

b

for every funcoids

a

FCD

(Src

f

; Src

g

),

b

FCD

(Dst

f

; Dst

g

);

2

. (

RLD

)

out

a

f

×

(

DP

)

g

(

RLD

)

out

b

a

f

×

(

C

)

g

b

for every funcoids

a

FCD

(Src

f

; Src

g

),

b

FCD

(Dst

f

; Dst

g

);

3

. (

FCD

)

a

f

×

(

C

)

g

(

FCD

)

b

a

f

×

(

DP

)

g

b

for every reloids

a

RLD

(Src

f

; Src

g

),

b

RLD

(Dst

f

; Dst

g

).

Conjecture

1440

.

For every two funcoids

f

and

g

we have:

FiXme

: Haven’t

yet tried hard to solve this. Compare theorem

1417

as a special case.

1

. (

RLD

)

in

a

f

×

(

A

)

g

(

RLD

)

in

b

a

f

×

(

C

)

g

b

for every funcoids

a

FCD

(Src

f

; Src

g

),

b

FCD

(Dst

f

; Dst

g

);

2

. (

RLD

)

out

a

f

×

(

A

)

g

(

RLD

)

out

b

a

f

×

(

C

)

g

b

for every funcoids

a

FCD

(Src

f

; Src

g

),

b

FCD

(Dst

f

; Dst

g

);

3

. (

FCD

)

a

f

×

(

C

)

g

(

FCD

)

b

a

f

×

(

A

)

g

b

for every reloids

a

RLD

(Src

f

; Src

g

),

b

RLD

(Dst

f

; Dst

g

).

Definition

1441

.

A

staroid on power sets

is such a staroid

f

that every

(form

f

)

i

is a lattice of all subsets of some set.

Conjecture

1442

.

Q

Strd

a

6

Q

Strd

b

b

Q

Strd

a

a

Q

Strd

b

⇔ ∀

i

n

:

a

i

6

b

i

for every

n

-indexed families

a

and

b

of filters on powersets.