background image

17.17. COUNTER-EXAMPLES

278

Otherwise (val

ϑ

)

i

L

=

. Thus (val

ϑ

)

i

L

is a free star. So

ϑ

is a staroid.

FiXme

:

Show that it’s not just a prestaroid.

Proposition

1426

.

ϑ

is a completary staroid.

Proof.

A

0

t

A

1

GR

ϑ

A

0

A

1

GR

ϑ

sup

i

N

card((

A

0

i

A

1

i

)

i

) =

N

∧ ∀

i

N

:

A

0

i

A

1

i

6

=

∅ ⇔

sup

i

N

card((

A

0

i

i

)

(

A

1

i

i

)) =

N

∧ ∀

i

N

:

A

0

i

A

1

i

6

=

.

If

A

0

i

=

then

A

0

i

i

=

and thus

A

1

i

i

w

A

0

i

i

. Thus we can select

c

(

i

)

∈ {

0

,

1

}

in such a way that

d

∈ {

0

,

1

}

: card(

A

c

(

i

)

i

i

)

w

card(

A

d

i

i

) and

A

c

(

i

)

i

6

=

. (Consider the case

A

0

i, A

1

i

6

=

and the similar cases

A

0

i

=

and

A

1

i

=

.)

So

A

0

t

A

1

GR

ϑ

sup

i

N

card(

A

c

(

i

)

i

i

) =

N

∧ ∀

i

N

:

A

c

(

i

)

i

6

=

∅ ⇔

(

λi

n

:

A

c

(

i

)

i

)

GR

ϑ.

Thus

ϑ

is completary.

Obvious

1427

.

ϑ

is non-zero.

Example

1428

.

For every family

a

=

a

i

N

of ultrafilters

Q

Strd

a

is not an atom

nor of the poset of staroids neither of the poset of completary staroids of the form

λi

N

: Base(

a

i

).

Proof.

It’s enough to prove

ϑ

6w

Q

Strd

a

.

Let

N

R

i

=

a

i

if

a

i

is principal and

R

i

=

N

\

i

if

a

i

is non-principal.

We have

i

N

:

R

i

a

i

.

We have

R /

GR

ϑ

because sup

i

N

card(

R

i

i

)

6

=

N

.

R

Q

Strd

a

because

X

a

i

:

X

R

i

6

=

.

So

ϑ

6w

Q

Strd

a

.

Remark

1429

.

At

http://mathoverflow.net/questions/60925/special-

infinitary-relations-and-ultrafilters there are a proof for arbitrary infinite form, not

just for

N

.

Conjecture

1430

.

There exists a non-completary staroid.

Conjecture

1431

.

There exists a prestaroid which is not a staroid.

Conjecture

1432

.

The set of staroids of the form

A

B

where

A

and

B

are sets

is atomic.

Conjecture

1433

.

The set of staroids of the form

A

B

where

A

and

B

are sets

is atomistic.

Conjecture

1434

.

The set of completary staroids of the form

A

B

where

A

and

B

are sets is atomic.

Conjecture

1435

.

The set of completary staroids of the form

A

B

where

A

and

B

are sets is atomistic.

Example

1436

.

StarComp(

a

;

f

t

g

)

6

= StarComp(

a

;

f

)

t

StarComp(

a

;

g

) in the

category of binary relations with star-morphisms for some

n

-ary relation

a

and an

n

-indexed families

f

and

g

of functions.