background image

17.17. COUNTER-EXAMPLES

277

i

n

:

f

i

C

00

(

µ

i

;

ν

i

)

⇔ ∀

i

n

:

f

i

µ

i

f

i

v

ν

i

(

C

)

Y

i

n

(

f

i

µ

i

f

i

)

v

(

C

)

Y

i

n

ν

i

(

C

)

Y

i

n

f

i

(

C

)

Y

i

n

µ

i

(

C

)

Y

i

n

f

i

v

(

C

)

Y

i

n

ν

i

(

C

)

Y

i

n

f

i

(

C

)

Y

i

n

µ

i

(

C

)

Y

i

n

f

i

v

(

C

)

Y

i

n

ν

i

(

C

)

Y

i

n

f

i

C

00

(

C

)

Y

µ

;

(

C

)

Y

ν

.

Theorem

1422

.

Let

µ

and

ν

be indexed (by some index set

n

) families of

endofuncoids, and

f

i

FCD

(Ob

µ

i

; Ob

ν

i

) for every

i

n

. Then:

1

.

i

n

:

f

i

C(

µ

i

;

ν

i

)

Q

(

A

)

f

C

Q

(

A

)

µ

;

Q

(

A

)

ν

;

2

.

i

n

:

f

i

C

0

(

µ

i

;

ν

i

)

Q

(

A

)

f

C

0

Q

(

A

)

µ

;

Q

(

A

)

ν

;

3

.

i

n

:

f

i

C

00

(

µ

i

;

ν

i

)

Q

(

A

)

f

C

00

Q

(

A

)

µ

;

Q

(

A

)

ν

.

Proof.

Similar to the previous theorem.

Theorem

1423

.

Let

µ

and

ν

be indexed (by some index set

n

) families of point-

free endofuncoids between posets with least elements, and

f

i

FCD

(Ob

µ

i

; Ob

ν

i

)

for every

i

n

. Then:

1

.

i

n

:

f

i

C(

µ

i

;

ν

i

)

Q

(

S

)

f

C

Q

(

S

)

µ

;

Q

(

S

)

ν

;

2

.

i

n

:

f

i

C

0

(

µ

i

;

ν

i

)

Q

(

S

)

f

C

0

Q

(

S

)

µ

;

Q

(

S

)

ν

;

3

.

i

n

:

f

i

C

00

(

µ

i

;

ν

i

)

Q

(

S

)

f

C

00

Q

(

S

)

µ

;

Q

(

S

)

ν

.

Proof.

Similar to the previous theorem.

17.17. Counter-examples

Example

1424

.

f

6

=

f

for some staroid

f

whose form is an indexed family

of filters on a set.

Proof.

Let

f

=

n

A∈

F

(

f

)

Cor

A6

o

for some infinite set

f

where ∆ is some non-

principal filter on

f

.

A

t

B

f

⇔↑

f

Cor(

A

t

B

)

6

⇔↑

f

Cor

A

t ↑

f

Cor

B

6

f

Cor

A

u

6

=

F

(

f

)

∨ ↑

f

Cor

B

u

6

=

F

(

f

)

A

f

B

f.

Obviously

F

(

f

)

/

f

. So

f

is a free star. But free stars are essentially the same

as 1-staroids.

f

=

∆.

f

=

?

6

=

f

.

For the below counter-examples we will define a staroid

ϑ

with arity

ϑ

=

N

and

GR

ϑ

P

(

N

N

) (based on a suggestion by Andreas Blass):

A

GR

ϑ

sup

i

N

card(

A

i

i

) =

N

∧ ∀

i

N

:

A

i

6

=

.

Proposition

1425

.

ϑ

is a staroid.

Proof.

(val

ϑ

)

i

L

=

P

N

\ {∅}

for every

L

(

P

N

)

N

\{

i

}

if

sup

i

N

\{

i

}

card(

A

j

j

) =

N

∧ ∀

j

N

\ {

i

}

:

L

j

6

=

.