17.16. COORDINATE-WISE CONTINUITY

276

Proof.

a

0

×

RLD

b

0

h

f

×

(

A

)

g

i

a

1

×

RLD

b

1

A

0

a

0

, B

0

b

0

, A

1

a

1

, B

1

b

1

:

A

0

×

B

0

h

f

×

(

A

)

g

i

A

1

×

B

1

.

A

0

×

B

0

h

f

×

(

A

)

g

i

A

1

×

B

1

A

0

×

B

0

h

f

×

(

C

)

g

i

A

1

×

B

1

A

0

[

f

]

A

1

B

0

[

g

]

B

1

.

(Here by

A

0

×

B

0

f

×

(

C

)

g

A

1

×

B

1

I mean

FCD

(Base

a

;Base

b

)

(

A

0

×

B

0

)

f

×

(

C

)

g

FCD

(Base

a

;Base

b

)

(

A

1

×

B

1

).)

Thus it is equivalent to

a

0

[

f

]

a

1

b

0

[

g

]

b

1

that is

a

0

×

FCD

b

0

f

×

(

C

)

g

a

1

×

FCD

b

1

.

(It was used the theorem

1348

.)

Can the above theorem be generalized for the infinitary case?

17.16. Coordinate-wise continuity

Theorem

1421

.

Let

µ

and

ν

be indexed (by some index set

n

) families of

endomorphisms for a quasi-invertible dagger category with star-morphisms, and

f

i

Mor(Ob

µ

i

; Ob

ν

i

) for every

i

n

. Then:

1

.

i

n

:

f

i

C(

µ

i

;

ν

i

)

Q

(

C

)

f

C

Q

(

C

)

µ

;

Q

(

C

)

ν

;

2

.

i

n

:

f

i

C

0

(

µ

i

;

ν

i

)

Q

(

C

)

f

C

0

Q

(

C

)

µ

;

Q

(

C

)

ν

;

3

.

i

n

:

f

i

C

00

(

µ

i

;

ν

i

)

Q

(

C

)

f

C

00

Q

(

C

)

µ

;

Q

(

C

)

ν

.

Proof.

Using the corollary

1337

:

i

n

:

f

i

C(

µ

i

;

ν

i

)

⇔ ∀

i

n

:

f

i

µ

i

v

ν

i

f

i

(

C

)

Y

i

n

(

f

i

µ

i

)

v

(

C

)

Y

i

n

(

ν

i

f

i

)

(

C

)

Y

f

(

C

)

Y

µ

v

(

C

)

Y

ν

(

C

)

Y

f

(

C

)

Y

f

C

(

C

)

Y

µ

;

(

C

)

Y

ν

.

i

n

:

f

i

C

0

(

µ

i

;

ν

i

)

⇔ ∀

i

n

:

µ

i

v

f

i

ν

i

f

i

(

C

)

Y

µ

v

(

C

)

Y

i

n

(

f

i

ν

i

f

i

)

(

C

)

Y

µ

v

(

C

)

Y

i

n

f

i

(

C

)

Y

i

n

ν

i

(

C

)

Y

i

n

f

i

(

C

)

Y

µ

v

(

C

)

Y

i

n

f

i

(

C

)

Y

i

n

ν

i

(

C

)

Y

i

n

f

i

(

C

)

Y

f

C

0

(

C

)

Y

µ

;

(

C

)

Y

ν

.