background image

17.12. MULTIRELOIDS

263

17.12. Multireloids

Definition

1361

.

I will call a

multireloid

of the form

A

=

A

i

n

, where every

each

A

i

is a set, a pair (

f

;

A

) where

f

is a filter on the set

Q

A

.

Definition

1362

.

I will denote Obj(

f

;

A

) =

A

and GR(

f

;

A

) =

f

for every

multireloid (

f

;

A

).

I will denote

RLD

(

A

) the set of multireloids of the form

A

.

The multireloid

RLD

(

A

)

F

for a relation

F

is defined by the formulas:

FiXme

:

Should instead be defined for anchored relations.

Obj

RLD

(

A

)

F

=

A

and GR

RLD

(

A

)

F

=

Q

A

F.

Let

a

be a multireloid of the form

A

and dom

A

=

n

.

Let every

f

i

be a reloid with Src

f

i

=

A

i

.

The star-composition of

a

with

f

is a multireloid of the form

λi

dom

A

: Dst

f

i

defined by the formulas:

arity StarComp(

a

;

f

) =

n

;

GR StarComp(

a

;

f

) =

l

RLD

(

A

)

GR StarComp(

A

;

F

)

A

GR

a, F

Q

i

n

GR

f

i

;

Obj

m

StarComp(

a

;

f

) =

λi

n

: Dst

f

i

.

Theorem

1363

.

Multireloids with above defined compositions form a quasi-

invertible category with star-morphisms.

Proof.

We need to prove:

1

. StarComp(StarComp(

m

;

f

);

g

) = StarComp(

m

;

λi

arity

m

:

g

i

f

i

);

2

. StarComp(

m

;

λi

arity

m

: id

Obj

m

i

) =

m

;

3

.

b

6

StarComp(

a

;

f

)

a

6

StarComp(

b

;

f

)

(the rest is obvious).

Really,

1

Using properties of generalized filter bases,

StarComp(StarComp(

a

;

f

);

g

) =

l

RLD

StarComp(

B

;

G

)

B

GR StarComp(

a

;

f

)

, G

Q

i

n

GR

g

i

=

l

RLD

StarComp(StarComp(

A

;

F

);

G

)

A

GR

a, F

Q

i

n

GR

f

i

, G

Q

i

n

GR

g

i

=

l

RLD

StarComp(

A

;

G

F

)

A

GR

a, F

Q

i

n

GR

f

i

, G

Q

i

n

GR

g

i

=

l

RLD

StarComp(

A

;

H

)

A

GR

a, H

Q

i

n

λi

n

:

g

i

f

i

=

StarComp(

a

;

λi

arity

n

:

g

i

f

i

)

.