background image

17.10. STAR CATEGORIES

254

Definition

1320

.

I will call Obj

m

the

form

of the star-morphism

m

.

(Having fixed a precategory with star-morphisms) I will denote StarMor(

P

)

the set of star-morphisms of the form

P

.

Proposition

1321

.

The sets StarMor(

P

) are disjoint (for different

P

).

Proof.

If two star-morphisms have different forms, they are clearly not equal.

Definition

1322

.

A

category with star-morphisms

is a precategory with star-

morphisms whose base is a category and the following equality (

the law of compo-

sition with identity

) holds for every star-morphism

m

:

StarComp(

m

;

λi

arity

m

: 1

Obj

m

i

) =

m.

Definition

1323

.

A

partially ordered precategory with star-morphisms

is a

category with star-morphisms, whose base precategory is a partially ordered pre-

category and every set StarMor(

X

) is partially ordered for every

X

, such that:

m

0

v

m

1

f

0

v

f

1

StarComp(

m

0

;

f

0

)

v

StarComp(

m

1

;

f

1

)

for every

m

0

, m

1

M

such that Obj

m

0

= Obj

m

1

and indexed families

f

0

and

f

1

of

morphisms such that

i

arity

m

: Src

f

0

i

= Src

f

1

i

= Obj

m

0

i

= Obj

m

1

i

;

i

arity

m

: Dst

f

0

i

= Dst

f

1

i.

Definition

1324

.

A

partially ordered category with star-morphisms

is a cate-

gory with star-morphisms which is also a partially ordered precategory with star-

morphisms.

Definition

1325

.

A

quasi-invertible

precategory with star-morphisms is a par-

tially ordered precategory with star-morphisms whose base precategory is a quasi-

invertible precategory, such that for every index set

n

, star-morphisms

a

and

b

of

arity

n

, and an

n

-indexed family

f

of morphisms of the base precategory it holds

b

6

StarComp(

a

;

f

)

a

6

StarComp(

b

;

f

)

.

(Here

f

=

λi

dom

f

: (

f

i

)

.)

Definition

1326

.

A

quasi-invertible

category with star-morphisms is a

quasi-invertible precategory with star-morphisms which is a category with star-

morphisms.

Each category with star-morphisms gives rise to a category (

abrupt category

,

see a remark below why I call it “abrupt”), as described below. Below for simplicity

I assume that the set

M

and the set of our indexed families of functions are disjoint.

The general case (when they are not necessarily disjoint) may be easily elaborated

by the reader.

Objects are indexed (by arity

m

for some

m

M

) families of objects of

the category

C

and an (arbitrarily chosen) object None not in this set.

There are the following disjoint sets of morphisms:

1

. indexed (by arity

m

for some

m

M

) families of morphisms of

C

;

2

. elements of

M

;

3

. the identity morphism id

None

on None.

Source and destination of morphisms are defined by the formulas:

Src

f

=

λi

dom

f

: Src

f

i

;

Dst

f

=

λi

dom

f

: Dst

f

i

;

Src

m

= None;

Dst

m

= Obj

m

.