 17.10. STAR CATEGORIES

254

Definition

1320

.

I will call Obj

m

the

form

of the star-morphism

m

.

(Having fixed a precategory with star-morphisms) I will denote StarMor(

P

)

the set of star-morphisms of the form

P

.

Proposition

1321

.

The sets StarMor(

P

) are disjoint (for different

P

).

Proof.

If two star-morphisms have different forms, they are clearly not equal.

Definition

1322

.

A

category with star-morphisms

is a precategory with star-

morphisms whose base is a category and the following equality (

the law of compo-

sition with identity

) holds for every star-morphism

m

:

StarComp(

m

;

λi

arity

m

: 1

Obj

m

i

) =

m.

Definition

1323

.

A

partially ordered precategory with star-morphisms

is a

category with star-morphisms, whose base precategory is a partially ordered pre-

category and every set StarMor(

X

) is partially ordered for every

X

, such that:

m

0

v

m

1

f

0

v

f

1

StarComp(

m

0

;

f

0

)

v

StarComp(

m

1

;

f

1

)

for every

m

0

, m

1

M

such that Obj

m

0

= Obj

m

1

and indexed families

f

0

and

f

1

of

morphisms such that

i

arity

m

: Src

f

0

i

= Src

f

1

i

= Obj

m

0

i

= Obj

m

1

i

;

i

arity

m

: Dst

f

0

i

= Dst

f

1

i.

Definition

1324

.

A

partially ordered category with star-morphisms

is a cate-

gory with star-morphisms which is also a partially ordered precategory with star-

morphisms.

Definition

1325

.

A

quasi-invertible

precategory with star-morphisms is a par-

tially ordered precategory with star-morphisms whose base precategory is a quasi-

invertible precategory, such that for every index set

n

, star-morphisms

a

and

b

of

arity

n

, and an

n

-indexed family

f

of morphisms of the base precategory it holds

b

6

StarComp(

a

;

f

)

a

6

StarComp(

b

;

f

)

.

(Here

f

=

λi

dom

f

: (

f

i

)

.)

Definition

1326

.

A

quasi-invertible

category with star-morphisms is a

quasi-invertible precategory with star-morphisms which is a category with star-

morphisms.

Each category with star-morphisms gives rise to a category (

abrupt category

,

see a remark below why I call it “abrupt”), as described below. Below for simplicity

I assume that the set

M

and the set of our indexed families of functions are disjoint.

The general case (when they are not necessarily disjoint) may be easily elaborated

Objects are indexed (by arity

m

for some

m

M

) families of objects of

the category

C

and an (arbitrarily chosen) object None not in this set.

There are the following disjoint sets of morphisms:

1

. indexed (by arity

m

for some

m

M

) families of morphisms of

C

;

2

. elements of

M

;

3

. the identity morphism id

None

on None.

Source and destination of morphisms are defined by the formulas:

Src

f

=

λi

dom

f

: Src

f

i

;

Dst

f

=

λi

dom

f

: Dst

f

i

;

Src

m

= None;

Dst

m

= Obj

m

.