background image

17.10. STAR CATEGORIES

253

Proof.

Use the fact that GR

Q

(ord)

F

=

F

(

L

(dom

F

)

)

1

F

GR

Q

(

D

)

f

.

Definition

1316

.

f

×

(ord)

g

=

Q

(ord)

J

f

;

g

K

.

Remark

1317

.

If

f

and

g

are binary funcoids, then

f

×

(ord)

g

is ternary.

Proposition

1318

.

FiXme

: Duplicate with

1296

Q

Strd

a

=

Q

Strd

a

if each

a

i

A

i

(for

i

n

where

n

is some index set) where each (

A

i

n

;

Z

i

n

) is a down

aligned filtrator with separable core.

Proof.

GR

Strd

Y

a

=

(

L

Q

A

up

L

Z

GR

Q

Strd

a

)

=

(

L

Q

A

up

L

GR

Q

Strd

a

)

=

(

L

Q

A

K

up

L

:

K

GR

Q

Strd

a

)

L

Q

A

K

up

L, i

n

:

K

i

6

a

i

L

Q

A

i

n, K

up

L

:

K

i

6

a

i

=

L

Q

A

i

n

:

L

i

6

a

i

=

GR

Strd

Y

a

(taken into account that our filtrators is with a separable core).

17.10. Star categories

Definition

1319

.

A

precategory with star-morphisms

consists of

1

. a precategory

C

(

the base precategory

);

2

. a set

M

(

star-morphisms

);

3

. a function “arity” defined on

M

(how many objects are connected by this

star-morphism);

4

. a function Obj

m

: arity

m

Obj(

C

) defined for every

m

M

;

5

. a function (

star composition

) (

m

;

f

)

7→

StarComp(

m

;

f

) defined for

m

M

and

f

being an (arity

m

)-indexed family of morphisms of

C

such that

i

arity

m

: Src

f

i

= Obj

m

i

(Src

f

i

is the source object of the morphism

f

i

) such that arity StarComp(

m

;

f

) = arity

m

such that it holds:

1

. StarComp(

m

;

f

)

M

;

2

. (

associativity law

)

StarComp(StarComp(

m

;

f

);

g

) = StarComp(

m

;

λi

arity

m

:

g

i

f

i

)

.

The meaning of the set

M

is an extension of

C

having as morphisms things

with arbitrary (possibly infinite) indexed set Obj

m

of objects, not just two objects

as morphisms of

C

have only source and destination.