background image

17.8. INFINITE PRODUCT OF POSET ELEMENTS

246

Conjecture

1293

.

The formula

f

t

FCD

(

A

)

g

cFCD

(

A

) is not true in general

for completary multifuncoids (even for completary multifuncoids on powersets)

f

and

g

of the same form

A

.

17.8. Infinite product of poset elements

Let

A

i

be a family of elements of a family

A

i

of posets. The

staroidal product

Q

Strd

(

A

)

A

i

is defined by the formula (for every

L

Q

A

)

form

Strd

(

A

)

Y

A

=

A

and

L

GR

Strd

(

A

)

Y

A

⇔ ∀

i

dom

A

:

A

i

6

L

i

.

Proposition

1294

.

If

A

i

are powerset algebras, staroidal product of principal

filters is essentially equivalent to Cartesian product. More precisely,

Q

Strd

i

dom

A

F

A

i

=

Strd

Q

A

for an indexed family

A

of sets.

Proof.

L

GR

Strd

Y

A

up

L

GR

Strd

Y

A

X

up

L

:

Y

X

6

Y

A

X

up

L, i

dom

A

:

X

i

6

A

i

i

dom

A

:

L

i

6↑

F

A

i

L

GR

Strd

Y

i

dom

A

F

A

i

.

Corollary

1295

.

Staroidal product of principal filters is an upgraded princi-

pal staroid.

Proposition

1296

.

Q

Strd

a

=

Q

Strd

a

if each

a

i

A

i

(for

i

n

where

n

is

some index set) where

A

i

is a separable poset and (

A

i

n

;

Z

i

n

) is a down aligned

filtrator.