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17.7. JOIN OF MULTIFUNCOIDS

244

Proof.

First prove that

f

is a prestaroid. We need to prove that

/

(GR

f

)

i

(that is up 0

*

(GR

f

)

i

that is

/

(GR

f

)

i

what is true by the

theorem conditions) and that for every

X

,

Y ∈

A

i

and

L ∈

Q

i

(arity

f

)

\{

i

}

A

i

where

i

arity

f

L ∪ {

(

i

;

X t Y

)

} ∈

GR

f

⇔ L ∪ {

(

i

;

X

)

} ∈

GR

f

∨ L ∪ {

(

i

;

Y

)

} ∈

GR

f.

The reverse implication is obvious. Let

L ∪ {

(

i

;

X t Y

)

} ∈

GR

f

. Then for every

L

∈ L

and

X

∈ X

,

Y

∈ Y

we have and

X

t

Z

i

Y

w X t

A

i

Y

thus

L

∪ {

(

i

;

X

t

Z

i

Y

)

} ∈

GR

f

and thus

L

∪ {

(

i

;

X

)

} ∈

GR

f

L

∪ {

(

i

;

Y

)

} ∈

GR

f

consequently

L ∪ {

(

i

;

X

)

} ∈

GR

f

∨ L ∪ {

(

i

;

Y

)

} ∈

GR

f

.

It is left to prove that

f

is an upper set, but this is obvious.

There is a conjecture similar to the above theorems:

Conjecture

1283

.

L

[

f

]

[

f

]

Q

i

dom

A

atoms

L

i

6

=

for every

multifuncoid

f

for the filtrator (

F

n

;

P

n

).

Conjecture

1284

.

Let

f

be a set,

F

be the set of filters on

f

,

P

be the set of

principal filters on

f

, let

n

be an index set. Consider the filtrator (

F

n

;

P

n

). Then

if

f

is a completary staroid of the form

P

n

, then

f

is a completary staroid of the

form

F

n

.

Obvious

1285

.

(

F

F

)

K

=

F

f

F

f K

for every set

F

of premultifuncoid

sketches of the same form

A

and

K

Q

A

whenever every

F

f

F

f K

is defined.

17.7. Join of multifuncoids

Premultifuncoid sketches are ordered by the formula

f

v

g

⇔ h

f

i v h

g

i

where

v

in the right part of this formula is the product order. I will denote

u

,

t

,

d

,

F

(without an index) the order poset operations on the poset of premultifuncoid

sketches.

Remark

1286

.

To describe this, the definition of product order is used twice.

Let

f

and

g

be premultifuncoid sketches of the same form

A

h

f

i v h

g

i ⇔ ∀

i

dom

A

:

h

f

i

i

v h

g

i

i

;

h

f

i

i

v h

g

i

i

⇔ ∀

L

Y

Z

|

(dom

A

)

\{

i

}

:

h

f

i

i

L

v h

g

i

i

L.

Theorem

1287

.

f

t

pFCD

(

A

)

g

=

f

t

g

for every premultifuncoids

f

and

g

for

the same indexed family of starrish join-semilattices filtrators.

Proof.

α

i

x

def

=

f

i

x

t

g

i

x

. It is enough to prove that

α

is a premultifuncoid.

We need to prove:

L

i

6

α

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

L

j

6

α

j

L

|

(dom

L

)

\{

j

}

.

Really,

L

i

6

α

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

L

i

6

f

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

t

g

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

L

i

6

f

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

L

i

6

g

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

L

j

6

f

j

L

|

(dom

L

)

\{

j

}

L

j

6

g

j

L

|

(dom

L

)

\{

j

}

L

j

6

f

j

L

|

(dom

L

)

\{

j

}

t

g

j

L

|

(dom

L

)

\{

j

}

L

j

6

α

j

L

|

(dom

L

)

\{

j

}

.