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17.6. MULTIFUNCOIDS

243

Theorem

1279

.

Fix some indexed family

A

of boolean lattices. The the

set of premultifuncoids

g

for the filtrator (

F

i

;

P

i

) bijectively corresponds to set

of prestaroids

f

of form

P

=

λi

dom

A

:

P

i

by the formulas:

1

.

f

= [

g

];

2

.

h

g

i

i

L

= (val

f

)

i

L

for every

i

dom

A

,

L

Q

P

|

dom

A

\{

i

}

.

Proof.

Let

f

be a prestaroid of the form

P

. If

α

is defined by the formula

α

i

L

=

h

f

i

i

L

then

∂α

i

L

= (val

f

)

i

L

. Then

L

i

6

α

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

L

f

L

j

6

α

j

L

|

(dom

L

)

\{

j

}

.

For the prestaroid

f

0

defined by the formula

L

f

0

L

i

6

α

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

we

have:

L

f

0

L

i

∂α

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

L

i

(val

f

)

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

L

f

;

thus

f

0

=

f

.

Let now

α

be an indexed family of functions

α

i

F

(

Z

i

)

(dom

Z

)

\{

i

}

conforming

to the formula (

26

). Let relation

f

between posets be defined by the formula

L

f

L

i

6

α

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

. Then

(val

f

)

i

L

=

K

P

i

K

6

α

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

=

∂α

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

and thus (val

f

)

i

L

is a core star that is

f

is a prestaroid. For the indexed family

α

0

defined by the formula

α

0

i

L

=

h

f

i

i

L

we have

∂α

0

i

L

=

h

f

i

i

L

=

K

P

i

K

6

α

i

L

=

∂α

i

L

;

thus

α

0

=

α

(taking into account that

P

i

is a boolean lattice).

We have shown that these are bijections.

Definition

1280

.

I will denote Λ

f

the premultifuncoid corresponding to a

prestaroid

f

(for an indexed family of boolean lattices) by the above theorem.

Theorem

1281

.

Fix some indexed family

Z

of boolean lattices.

h

f

i

j

(

L

∪{

(

i

;

X

t

Y

)

}

) =

h

f

i

j

(

L

∪ {

(

i

;

X

)

}

)

t h

f

i

j

(

L

∪ {

(

i

;

Y

)

}

) for every premultifuncoid

f

for the

family (

F

i

;

P

i

) of filtrators and

i, j

arity

f

,

i

6

=

j

,

L

Q

k

L

\{

i,j

}

Z

k

,

X, Y

A

i

.

FiXme

: It also holds for any finite number of arguments.

Proof.

Let

i

arity

f

and

L

Q

k

L

\{

i,j

}

Z

k

. Let

Z

Z

i

.

Z

6 h

f

i

j

(

L

∪ {

(

i

;

X

t

Y

)

}

)

L

∪ {

(

i

;

X

t

Y

)

,

(

j

;

Z

)

} ∈

f

X

t

Y

(val

f

)

i

(

L

∪ {

(

j

;

Z

)

}

)

X

(val

f

)

i

(

L

∪ {

(

j

;

Z

)

}

)

Y

(val

f

)

i

(

L

∪ {

(

j

;

Z

)

}

)

L

∪ {

(

i

;

X

)

,

(

j

;

Z

)

} ∈

[

f

]

L

∪ {

(

i

;

Y

)

,

(

j

;

Z

)

} ∈

[

f

]

Z

6 h

f

i

j

(

L

∪ {

(

i

;

X

)

}

)

Z

6 h

f

i

j

(

L

∪ {

(

i

;

Y

)

}

)

.

Thus

h

f

i

j

(

L

∪ {

(

i

;

X

t

Y

)

}

) =

h

f

i

j

(

L

∪ {

(

i

;

X

)

}

)

t h

f

i

j

(

L

∪ {

(

i

;

Y

)

}

).

Let us consider the filtrator

Q

i

arity

f

F

((form

f

)

i

);

Q

i

arity

f

(form

f

)

i

.

Theorem

1282

.

Let (

A

i

;

Z

i

) be a family of join-closed down-aligned filtrators

whose both base and core are join-semilattices. Let

f

be a staroid of the form

Z

.

Then

f

is a staroid of the form

A

.