background image

17.6. MULTIFUNCOIDS

242

Really

Y

(

L

0

t

L

1

)

6

F

x

Y

(

L

0

t

L

1

) :

x

F

x

Y

i

arity

f

(form

f

)

i

i

arity

f

: (

x

i

L

0

i

L

1

i

x

F

)

x

Y

i

arity

f

(form

f

)

i

i

arity

f

: ((

x

i

L

0

i

x

i

L

1

i

)

x

F

)

x

Y

i

arity

f

(form

f

)

i

c

∈ {

0

,

1

}

arity

f

:

x

Y

i

arity

f

L

c

(

i

)

i

x

F

c

∈ {

0

,

1

}

arity

f

:

Y

i

n

L

c

(

i

)

i

6

F.

Definition

1268

.

The

upgraded staroid generated

by an anchored relation

F

is the staroid

Strd

F

.

Proposition

1269

.

Strd

F

=

Strd

F

.

Proof.

Because GR

Strd

F

is an upper set.

Conjecture

1270

.

Every upgraded principal staroid is a completary staroid.

Conjecture

1271

.

Filtrators of staroids on powersets are join-closed.

17.6. Multifuncoids

Definition

1272

.

Let (

A

i

;

Z

i

) (where

i

n

for an index set

n

) be an indexed

family of filtrators.

I call a

premultifuncoid sketch

f

of the form (

A

i

;

Z

i

) the

n

-indexed family

α

of

functions where for every

i

n

α

i

:

Y

Z

|

(dom

A

)

\{

i

}

A

i

.

I denote

h

f

i

=

α

.

FiXme

: Should be

h

f

i

.

Definition

1273

.

A premultifuncoid sketch

on powersets

is a premultifuncoid

sketch such that every (

A

i

;

Z

i

) is the primary filtrator of filters on a powerset.

Definition

1274

.

I will call a

premultifuncoid

a premultifuncoid sketch such

that for every

i, j

n

and

L

Q

Z

L

i

6

α

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

L

j

6

α

j

L

|

(dom

L

)

\{

j

}

.

(26)

Definition

1275

.

Let

A

be an indexed family of starrish posets. The

prestaroid

corresponding

to a premultifuncoid

f

is [

f

] defined by the formula:

form [

f

] =

Z

and

L

GR [

f

]

L

i

6 h

f

i

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

.

Proposition

1276

.

The prestaroid corresponding to a premultifuncoid is really

a prestaroid.

Proof.

By the definition of starrish posets.

Definition

1277

.

I will call a

multifuncoid

a premultifuncoid to which corre-

sponds a staroid.

Definition

1278

.

I will call a

completary multifuncoid

a premultifuncoid to

which corresponds a completary staroid.