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2.1. ORDER THEORY

24

Proof.

(

a

\

b

)

t

b

=

l

z

A

a

v

b

t

z

t

b

=

l

z

t

b

z

A

, a

v

b

t

z

=

l

t

A

t

w

b, a

v

t

=

a

t

b.

Theorem

130

.

The following are equivalent for a complete lattice

A

:

1

.

A

is meet infinite distributive.

2

.

A

is a co-brouwerian lattice.

3

.

A

is a co-Heyting lattice.

4

.

a

t −

has lower adjoint for every

a

A

.

Proof.

2

3

Obvious (taking into account completeness of

A

).

4

1

Let

− \

a

be the lower adjoint of

a

t −

. Let

S

P

A

. For every

y

S

we have

y

w

(

a

t

y

)

\

a

by properties of Galois connections; consequently

y

w

d

h

a

ti

S

\

a

;

d

S

w

d

h

a

ti

S

\

a

. So

a

t

l

S

w

l

h

a

ti

S

\

a

t

a

w

l

h

a

ti

S.

But

a

t

d

S

v

d

h

a

ti

S

is obvious.

1

2

Let

a

\

b

=

d

n

z

A

a

v

b

t

z

o

. To prove that

A

is a co-brouwerian lattice it is

enough to prove

a

v

b

t

(

a

\

b

). But it follows from the lemma.

2

4

.

a

\

b

= min

n

z

A

a

v

b

t

z

o

. So

a

t −

is the upper adjoint of

− \

a

.

1

4

Because

a

t −

preserves all meets.

Corollary

131

.

Co-brouwerian lattices are distributive.

The following theorem is essentially borrowed from [

18

]:

Theorem

132

.

A lattice

A

with least element

is co-brouwerian with pseu-

dodifference

\

iff

\

is a binary operation on

A

satisfying the following identities:

1

.

a

\

a

=

;

2

.

a

t

(

b

\

a

) =

a

t

b

;

3

.

b

t

(

b

\

a

) =

b

;

4

. (

b

t

c

)

\

a

= (

b

\

a

)

t

(

c

\

a

).

Proof.

. We have

c

w

b

\

a

c

t

a

w

a

t

(

b

\

a

) =

a

t

b

w

b

;

c

t

a

w

b

c

=

c

t

(

c

\

a

)

w

(

a

\

a

)

t

(

c

\

a

) = (

a

t

c

)

\

a

w

b

\

a

.

So

c

w

b

\

a

c

t

a

w

b

that is

a

t −

is an upper adjoint of

− \

a

. By

a theorem above our lattice is co-brouwerian. By another theorem above

\

is a pseudodifference.

.

1

Obvious.