 17.2. FUNCTION SPACES OF POSETS

237

Proof.

We will prove only the first, because the second is dual.

Cor

a

=

Q

Z

l

up

a

=

λi

dom

a

:

Z

i

l

x

i

x

up

a

= (up

x

6

=

taken into account)

λi

dom

a

:

Z

i

l

x

x

up

a

i

=

λi

dom

a

:

Z

i

l

up

a

i

=

λi

dom

a

: Cor

a

i

.

Proposition

1231

.

If each (

A

i

;

Z

i

) is a filtrator with (co-)separable core and

each

A

i

has a least (greatest) element, then (

Q

A

;

Q

Z

) is a filtrator with (co-

)separable core.

Proof.

We will prove only for separable core, as co-separable core is dual.

x

Q

A

y

(used the fact that

A

i

has a least element)

i

dom

A

:

x

i

A

i

y

i

i

dom

A

X

up

x

i

:

X

A

i

y

i

X

up

x

i

dom

A

:

X

i

A

i

y

i

X

up

x

:

X

Q

A

y

for every

x, y

Q

A

.

Obvious

1232

.

1

. If each (

A

i

;

Z

i

) is a down-aligned filtrator, then (

Q

A

;

Q

Z

) is a down-

aligned filtrator.

2

. If each (

A

i

;

Z

i

) is an up-aligned filtrator, then (

Q

A

;

Q

Z

) is an up-aligned

filtrator.

Proposition

1233

.

If every

b

i

is substractive from

a

i

where

a

and

b

are

n

-

indexed families of distributive lattices with least elements (where

n

is an index

set), then

a

\

b

=

λi

n

:

a

i

\

b

i

.

Proof.

We need to prove (

λi

n

:

a

i

\

b

i

)

u

b

=

and

a

t

b

=

b

t

(

λi

n

:

a

i

\

b

i

).

Really

(

λi

n

:

a

i

\

b

i

)

u

b

=

λi

n

: (

a

i

\

b

i

)

u

b

i

=

;

b

t

(

λi

n

:

a

i

\

b

i

) =

λi

n

:

b

i

t

(

a

i

\

b

i

) =

λi

n

:

b

i

t

a

i

=

a

t

b.

Proposition

1234

.

If every

A

i

is a distributive lattice, then

a

\

b

=

λi

dom

A

:

a

i

\

b

i

for every

a, b

Q

A

whenever every

a

i

\

b

i

is defined.

Proof.

If some

A

i

is empty, our statement is obvious. Let’s assume

A

i

6

=

.

FiXme

: Should consider this special case?

We need to prove that

λi

dom

A

:

a

i

\

b

i

=

d

z

Q

A

a

v

b

t

z

.