background image

17.2. FUNCTION SPACES OF POSETS

235

Proof.

Proposition

178

.

Proposition

1222

.

Let (

A

i

n

;

Z

i

n

) be a family of filtrators. Then (

Q

A

;

Q

Z

)

is a filtrator.

Proof.

We need to prove that

Q

Z

is a sub-poset of

Q

A

. First

Q

Z

Q

A

because

Z

i

A

i

for each

i

n

.

Let

A, B

Q

Z

and

A

v

Q

Z

B

. Then

i

n

:

A

i

v

Z

i

B

i

; consequently

i

n

:

A

i

v

A

i

B

i

that is

A

v

Q

A

B

.

Proposition

1223

.

Let (

A

i

n

;

Z

i

n

) be a family of filtrators.

1

. The filtrator (

Q

A

;

Q

Z

) is (finitely) join-closed if every (

A

i

;

Z

i

) is (finitely)

join-closed.

2

. The filtrator (

Q

A

;

Q

Z

) is (finitely) meet-closed if every (

A

i

;

Z

i

) is

(finitely) meet-closed.

Proof.

Let every (

A

i

;

Z

i

) be finitely join-closed. Let

A, B

Q

Z

and

A

t

Q

Z

B

exist. Then (by corollary

1215

)

A

t

Q

Z

B

=

λi

n

:

A

i

t

Z

i

B

i

=

λi

n

:

A

i

t

A

i

B

i

=

A

t

Q

A

B.

Let now every (

A

i

;

Z

i

) be join-closed. Let

S

P

Q

Z

and

F

Q

Z

S

exist. Then

(by corollary

1215

)

Q

Z

G

S

=

λi

dom

A

:

Z

i

Gn

x

i

x

S

o

=

λi

dom

A

:

A

i

Gn

x

i

x

S

o

=

Q

A

G

S.

The rest follows from symmetry.

Proposition

1224

.

If each (

A

i

;

Z

i

) where

i

n

(for some index set

n

) is a

down-aligned filtrator with separable core then (

Q

A

;

Q

Z

) is with separable core.

Proof.

Let

a

6

=

b

. Then

i

n

:

a

i

6

=

b

i

. So

x

Z

i

: (

x

6

a

i

x

b

i

) (or

vice versa).

Take

y

= ((

n

\ {

i

}

)

× {

0

}

)

∪ {

(

i

;

x

)

}

. Then we have

y

6

a

and

y

b

and

y

Z

.

Proposition

1225

.

Let every

A

i

be a bounded lattice. Every (

A

i

;

Z

i

) is a

central filtrator iff (

Q

A

;

Q

Z

) is a central filtrator.

Proof.

FiXme

: Finish the proof.

x

Z

Y

A

y

Y

A

: (

x

u

y

=

Q

A

x

t

y

=

>

Q

A

)

y

Y

A

i

dom

A

: (

x

i

u

y

i

=

A

i

x

i

t

y

i

=

>

A

i

)

i

dom

A

y

A

i

: (

x

i

u

y

=

A

i

x

i

t

y

=

>

A

i

)

i

dom

A

:

x

i

Z

(

A

i

)

.

Proposition

1226

.

For every element

a

of a product filtrator (

Q

A

;

Q

Z

):

1

. up

a

=

Q

i

dom

a

up

a

i

;

2

. down

a

=

Q

i

dom

a

down

a

i

.