background image

17.2. FUNCTION SPACES OF POSETS

234

Proposition

1214

.

If every

A

i

is a poset then for every

S

P

Q

A

1

.

F

S

=

λi

dom

A

:

F

x

i

x

S

 

whenever every

F

x

i

x

S

 

exists;

2

.

d

S

=

λi

dom

A

:

d

x

i

x

S

 

whenever every

d

x

i

x

S

 

exists.

Proof.

It’s enough to prove the first formula.

λi

dom

A

:

F

x

i

x

S

 

i

=

F

x

i

x

S

 

w

x

i

for every

x

S

and

i

dom

A

.

Let

y

w

x

for every

x

S

. Then

y

i

w

x

i

for every

i

dom

A

and thus

y

i

w

F

x

i

x

S

 

=

λi

dom

A

:

F

x

i

x

S

 

i

that is

y

w

λi

dom

A

:

F

x

i

x

S

 

.

Thus

F

S

=

λi

dom

A

:

F

x

i

x

S

 

by the definition of join.

Corollary

1215

.

If

A

i

are posets then for every

S

P

Q

A

1

.

F

S

=

λi

dom

A

:

F

x

i

x

S

 

whenever

F

S

exists;

2

.

d

S

=

λi

dom

A

:

d

x

i

x

S

 

whenever

d

S

exists.

Proof.

It is enough to prove that (for every

i

)

F

x

i

x

S

 

exists whenever

F

S

exists.

Fix

i

dom

A

.

Take

y

i

= (

F

S

)

i

and let prove that

y

i

is the least upper bound of

F

x

i

x

S

 

.

y

i

is an upper bound of

F

x

i

x

S

 

because

F

S

w

x

and thus (

F

S

)

i

w

x

i

for

every

x

S

.

Let

x

S

and for some

t

A

i

T

(

t

) =

λj

dom

A

:

(

t

if

i

=

j

x

i

if

i

6

=

j.

Let

t

w

x

i

. Then

T

(

t

)

w

x

for every

x

S

. So

T

(

t

)

w

F

S

and consequently

t

=

T

(

t

)

i

w

y

i

.

So

y

i

is the least upper bound of

x

i

x

S

 

.

Corollary

1216

.

If

A

i

are complete lattices then

A

is a complete lattice.

Obvious

1217

.

If

A

i

are complete (co-)brouwerian lattices then

A

is a (co-

)brouwerian lattice.

Proposition

1218

.

If each

A

i

is a separable poset with least element (for some

index set

n

) then

Q

A

is a separable poset.

Proof.

Let

a

6

=

b

. Then

i

dom

A

:

a

i

6

=

b

i

. So

x

A

i

: (

x

6

a

i

x

b

i

)

(or vice versa).

Take

y

= (((dom

A

)

\ {

i

}

)

× {

0

}

)

∪ {

(

i

;

x

)

}

. Then

y

6

a

and

y

b

.

Obvious

1219

.

If every

A

i

is a poset with least element

i

, then the set of

atoms of

Q

A

is

(

{

k

} ×

atoms

A

k

)

(

λi

(dom

A

)

\ {

k

}

:

i

)

k

dom

A

.

Proposition

1220

.

If every

A

i

is an atomistic poset with least element

i

,

then

Q

A

is an atomistic poset.

Proof.

x

i

=

F

atoms

x

i

for every

x

i

A

i

. Thus

x

=

λi

dom

x

:

x

i

=

λi

dom

x

:

G

atoms

x

i

=

G

i

dom

x

λj

dom

x

:

(

x

i

if

j

=

i

i

if

j

6

=

i.

Take join two times.

Corollary

1221

.

If

A

i

are atomistic posets with least elements, then

Q

A

is

atomically separable.