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17.2. FUNCTION SPACES OF POSETS

233

17.2. Function spaces of posets

Definition

1206

.

Let

A

i

be a family of posets indexed by some set dom

A

.

We will define order of families of posets by the formula

a

v

b

⇔ ∀

i

dom

A

:

a

i

v

b

i

.

I will call this new poset

A

=

Q

A

the function space

of posets and the above order

product order

.

Proposition

1207

.

The function space for posets is also a poset.

Proof.

Reflexivity. Obvious.

Antisymmetry. Obvious.

Transitivity. Obvious.

Obvious

1208

.

A

has least element iff each

A

i

has a least element. In this case

A

=

Y

i

dom

A

A

i

.

Proposition

1209

.

a

6

b

⇔ ∃

i

dom

A

:

a

i

6

b

i

for every

a, b

Q

A

if every

A

i

has least element.

Proof.

If dom

A

=

, then

a

=

b

=

,

a

b

and thus the theorem statement

holds. Assume dom

A

6

=

.

FiXme

: Is considering this special case necessary?

a

6

b

c

Y

A

\ {⊥

Q

A

}

: (

c

v

a

c

v

b

)

c

Y

A

\ {⊥

Q

A

}∀

i

dom

A

: (

c

i

v

a

i

c

i

v

b

i

)

(for the reverse implication take

c

j

=

A

j

for

i

6

=

j

)

i

dom

A

, c

A

i

\ {⊥

A

i

}

: (

c

i

v

a

i

c

i

v

b

i

)

i

dom

A

:

a

i

6

b

i

.

Proposition

1210

.

1

. If

A

i

are join-semilattices then

A

is a join-semilattice and

A

t

B

=

λi

dom

A

:

Ai

t

Bi.

(25)

2

. If

A

i

are meet-semilattices then

A

is a meet-semilattice and

A

u

B

=

λi

dom

A

:

Ai

u

Bi.

Proof.

It is enough to prove the formula (

25

).

It’s obvious that

λi

dom

A

:

Ai

t

Bi

w

A, B

.

Let

C

w

A, B

. Then (for every

i

dom

A

)

Ci

w

Ai

and

Ci

w

Bi

. Thus

Ci

w

Ai

t

Bi

that is

C

w

λi

dom

A

:

Ai

t

Bi

.

Corollary

1211

.

If

A

i

are lattices then

A

is a lattice.

Obvious

1212

.

If

A

i

are distributive lattices then

A

is a distributive lattice.

Proposition

1213

.

If

A

i

are boolean lattices then

Q

A

is a boolean lattice.

Proof.

We need to prove only that every element

a

Q

A

has a complement.

But this complement is evidently

λi

dom

a

:

a

i

.