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16.4. GENERALIZED LIMIT

230

Proof.

im

f

|

h

µ

i

{

x

}

v h

ν

i

{

y

}

;

h

f

ih

µ

i

{

x

} v h

ν

i

{

y

}

;

ν

f

|

h

µ

i

{

x

}

w

(

h

ν

i

{

y

} ×

FCD

h

ν

i

{

y

}

)

f

|

h

µ

i

{

x

}

=

(

f

|

h

µ

i

{

x

}

)

1

h

ν

i

{

y

} ×

FCD

h

ν

i

{

y

}

=

D

id

FCD

h

µ

i

{

x

}

f

1

E

h

ν

i

{

y

} ×

FCD

h

ν

i

{

y

} w

D

id

FCD

h

µ

i

{

x

}

f

1

E

h

f

ih

µ

i

{

x

} ×

FCD

h

ν

i

{

y

}

=

D

id

FCD

h

µ

i

{

x

}

E

f

1

f

h

µ

i

{

x

} ×

FCD

h

ν

i

{

y

} w

D

id

FCD

h

µ

i

{

x

}

ED

id

FCD

h

µ

i

{

x

}

E

h

µ

i

{

x

} ×

FCD

h

ν

i

{

y

}

=

h

µ

i

{

x

} ×

FCD

h

ν

i

{

y

}

.

On the other hand,

f

|

h

µ

i

{

x

}

v h

µ

i

{

x

} ×

FCD

h

ν

i

{

y

}

;

ν

f

|

h

µ

i

{

x

}

v h

µ

i

{

x

} ×

FCD

h

ν

ih

ν

i

{

y

} v h

µ

i

{

x

} ×

FCD

h

ν

i

{

y

}

.

So

ν

f

|

h

µ

i

{

x

}

=

h

µ

i

{

x

} ×

FCD

h

ν

i

{

y

}

.

xlim

x

f

=

n

ν

f

|

h

µ

i∗ {

x

}

◦↑

r

r

G

o

=

n

(

h

µ

i

{

x

FCD

h

ν

i

{

y

}

)

◦↑

r

r

G

o

=

τ

(

y

).

Corollary

1195

.

If lim

ν

h

µ

i

{

x

}

f

=

y

then xlim

x

f

=

τ

(

y

).

We have injective

τ

if

h

ν

i

{

y

1

} u h

ν

i

{

y

2

}

= 0

F

(Ob

µ

)

for every distinct

y

1

, y

2

Ob

ν

that is if

ν

is

T

2

-separable.