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2.1. ORDER THEORY

23

Proof.

Because of duality it is enough to prove that ¯

a

is pseudocomplement

of

a

.

We need to prove

c

a

c

v

¯

a

for every element c of our poset, and ¯

a

a

.

The second is obvious. Let’s prove

c

a

c

v

¯

a

.

Really, let

c

a

. Then

c

u

a

=

; ¯

a

t

(

c

u

a

) = ¯

a

; (¯

a

t

c

)

u

a

t

a

) = ¯

a

; ¯

a

t

c

= ¯

a

;

c

v

¯

a

.

Definition

119

.

Let

A

be a join-semilattice. Let

a, b

A

.

Pseudodifference

of

a

and

b

is

min

z

A

a

v

b

t

z

.

If

z

is a pseudodifference of

a

and

b

we will denote

z

=

a

\

b

.

Remark

120

.

I do not require that

a

is undefined if there are no pseudocom-

plement of

a

and likewise for dual pseudocomplement and pseudodifference. In fact

below I will define quasicomplement, dual quasicomplement, and quasidifference

which generalize pseudo-* counterparts. I will denote

a

the more general case of

quasicomplement than of pseudocomplement, and likewise for other notation.

Obvious

121

.

Dual pseudocomplement is the dual of pseudocomplement.

Definition

122

.

Co-brouwerian lattice

is a lattice for which pseudodifference

of any two its elements is defined.

Proposition

123

.

Every non-empty co-brouwerian lattice

A

has least element.

Proof.

Let

a

be an arbitrary lattice element. Then

a

\

a

= min

z

A

a

v

a

t

z

= min

A

.

So min

A

exists.

Definition

124

.

Co-Heyting lattice

is co-brouwerian lattice with greatest ele-

ment.

Theorem

125

.

For a co-brouwerian lattice

a

t −

is an upper adjoint of

− \

a

for every

a

A

.

Proof.

g

(

b

) = min

n

x

A

a

t

x

w

b

o

=

b

\

a

exists for every

b

A

and thus is the

lower adjoint of

a

t −

.

Corollary

126

.

a, x, y

A

: (

x

\

a

v

y

x

v

a

t

y

) for a co-brouwerian

lattice.

Definition

127

.

Let

a, b

A

where

A

is a complete lattice.

Quasidifference

a

\

b

is defined by the formula:

a

\

b

=

l

z

A

a

v

b

t

z

.

Remark

128

.

A more detailed theory of quasidifference (as well as quasicom-

plement and dual quasicomplement) will be considered below.

Lemma

129

.

(

a

\

b

)

t

b

=

a

t

b

for elements

a

,

b

of a meet infinite distributive

complete lattice.