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16.4. GENERALIZED LIMIT

228

16.4.1. Definition.

Let

µ

and

ν

be endofuncoids. Let

G

be a transitive per-

mutation group on Ob

µ

.

For an element

r

G

we will denote

r

=

FCD

(Ob

µ

;Ob

µ

)

r

.

µ

◦ ↑

r

=

r

µ.

We require for every

y

Ob

ν

ν

w h

ν

i

{

y

} ×

FCD

h

ν

i

{

y

}

.

(23)

Proposition

1181

.

Formula (

23

follows from

ν

w

ν

ν

1

.

Proof.

Let

ν

w

ν

ν

1

. Then

h

ν

i

{

y

} ×

FCD

h

ν

i

{

y

}

=

h

ν

i ↑

Ob

ν

{

y

} ×

FCD

h

ν

i ↑

Ob

ν

{

y

}

=

ν

(

Ob

ν

{

y

FCD

Ob

ν

{

y

}

)

ν

1

=

ν

◦ ↑

FCD

(Ob

ν

;Ob

ν

)

(

{

y

} × {

y

}

)

ν

1

v

ν

id

FCD

(Ob

ν

)

ν

1

=

ν

ν

1

v

ν.

Remark

1182

.

The formula (

23

usually works if

ν

is a proximity. It does not

work if

µ

is a pretopology or preclosure.

We are going to consider (generalized) limits of arbitrary functions acting from

Ob

µ

to Ob

ν

. (The functions in consideration are not required to be continuous.)

Remark

1183

.

Most typically

G

is the group of translations of some topological

vector space.

Generalized limit

is defined by the following formula:

Definition

1184

.

xlim

f

def

=

n

ν

f

◦↑

r

r

G

o

for any funcoid

f

.

Remark

1185

.

Generalized limit technically is a set of funcoids.

We will assume that dom

f

w h

µ

i

{

x

}

.

Definition

1186

.

xlim

x

f

= xlim

f

|

h

µ

i

{

x

}

.

Obvious

1187

.

xlim

x

f

=

n

ν

f

|

h

µ

i∗ {

x

}

◦↑

r

r

G

o

.

Remark

1188

.

xlim

x

f

is the same for funcoids

µ

and Compl

µ

.

The function

τ

will define an injection from the set of points of the space

ν

(“numbers”, “points”, or “vectors”) to the set of all (generalized) limits (i.e. values

which xlim

x

f

may take).

Definition

1189

.

τ

(

y

)

def

=

n

h

µ

i

{

x

FCD

h

ν

i

{

y

}

x

D

o

.

Proposition

1190

.

τ

(

y

) =

n

(

h

µ

i

{

x

FCD

h

ν

i

{

y

}

)

◦↑

r

r

G

o

for every (fixed)

x

D

.

Proof.

(

h

µ

i

{

x

} ×

FCD

h

ν

i

{

y

}

)

◦ ↑

r

=

r

1

h

µ

i

{

x

} ×

FCD

h

ν

i

{

y

}

=

h

µ

i

r

1

{

x

} ×

FCD

h

ν

i

{

y

}

=

h

µ

i

{

r

1

x

} ×

FCD

h

ν

i

{

y

} ∈ h

µ

i

{

x

} ×

FCD

h

ν

i

{

y

}

.