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2.1. ORDER THEORY

22

1

b

We have

g

(

b

) = max

x

A

f x

v

b

f gb

v

b

∧ ∀

x

A

: (

f x

v

b

x

v

gb

)

.

what is true by properties of adjoints.

Theorem

114

.

Let

f

be a function from a poset

A

to a poset

B

.

1

. If

f

is an upper adjoint,

f

preserves all existing infima in

A

.

2

. If

A

is a complete lattice and

f

preserves all infima, then

f

is an upper

adjoint of a function

B

A

.

3

. If

f

is a lower adjoint,

f

preserves all existing suprema in

A

.

4

. If

A

is a complete lattice and

f

preserves all suprema, then

f

is an lower

adjoint of a function

B

A

.

Proof.

We will prove only first two items because the rest items are similar.

1

Let

S

P

A

and

d

S

exists.

f

d

S

is a lower bound for

h

f

i

S

because

f

is order-preserving. If

a

is a lower bound for

h

f

i

S

then

x

S

:

a

v

f x

that

is

x

S

:

ga

v

x

where

g

is the lower adjoint of

f

. Thus

ga

v

d

S

and hence

f

d

S

w

a

. So

f

d

S

is the greatest lower bound for

h

f

i

S

.

2

Let

A

be a complete lattice and

f

preserves all infima. Let

g

(

a

) =

l

x

A

f x

w

a

.

Since

f

preserves infima, we have

f

(

g

(

a

)) =

l

f

(

x

)

x

A

, f x

w

a

w

a.

g

(

f

(

b

)) =

d

n

x

A

f x

w

f b

o

v

b

.

Obviously

f

is monotone and thus

g

is also monotone.

So

f

is the upper adjoint of

g

.

Corollary

115

.

Let

f

be a function from a complete lattice

A

to a poset

B

.

Then:

1

.

f

is an upper adjoint of a function

B

A

iff

f

preserves all infima in

A

.

2

.

f

is a lower adjoint of a function

B

A

iff

f

preserves all suprema in

A

.

2.1.14. Co-Brouwerian lattices.

Definition

116

.

Let

A

be a poset.

Pseudocomplement

of

a

A

is

max

c

A

c

a

.

If

z

is the pseudocomplement of

a

we will denote

z

=

a

.

Definition

117

.

Let

A

be a poset.

Dual pseudocomplement

of

a

A

is

min

c

A

c

a

.

If

z

is the dual pseudocomplement of

a

we will denote

z

=

a

+

.

Proposition

118

.

If

a

is a complemented element of a bounded distributive

lattice, then ¯

a

is both pseudocomplement and dual pseudocomplement of

a

.