background image

15.9. FUNCOIDAL PRODUCT OF ELEMENTS

214

Theorem

1123

.

Let

A

,

B

be sets of filters over boolean lattices. For every

f

FCD

(

A

;

B

) and

A ∈

A

,

B ∈

B

f

u

(

A ×

FCD

B

) = id

FCD

(

B

)

B

f

id

FCD

(

A

)

A

.

Proof.

From above

FCD

(

A

;

B

) is a (complete) lattice.

h

def

= id

FCD

(

B

)

B

f

id

FCD

(

A

)

A

. For every

X ∈

A

h

h

iX

=

D

id

FCD

(

B

)

B

E

h

f

i

D

id

FCD

(

A

)

A

E

X

=

B u h

f

i

(

A u X

)

and

h

1

X

=

D

id

FCD

(

A

)

A

E

f

1

D

id

FCD

(

B

)

B

E

X

=

A u

f

1

(

B u X

)

.

From this, as easy to show,

h

v

f

and

h

v A ×

FCD

B

. If

g

v

f

g

v A ×

FCD

B

for

a

g

FCD

(

A

;

B

) then dom

g

v A

, im

g

v B

,

h

g

iX

=

B u h

g

i

(

A u X

)

v B u h

f

i

(

A u X

) =

D

id

FCD

(

B

)

B

E

h

f

i

D

id

FCD

(

A

)

A

E

X

=

h

h

iX

,

and similarly

g

1

X v

h

1

X

.

g

v

h

. So

h

=

f

u

(

A ×

FCD

B

).

Corollary

1124

.

Let

A

,

B

be sets of filters over boolean lattices. For every

f

FCD

(

A

;

B

) and

A ∈

A

we have

f

|

A

=

f

u

(

A ×

FCD

>

B

).

Proof.

f

u

(

A ×

FCD

>

B

) = id

FCD

(

B

)

>

B

f

id

FCD

(

A

)

A

=

f

id

FCD

(

A

)

A

=

f

|

A

.

Corollary

1125

.

Let

A

,

B

be sets of filters over boolean lattices. For every

f

FCD

(

A

;

B

) and

A ∈

A

,

B ∈

B

we have

f

6 A ×

FCD

B ⇔ A

[

f

]

B

.

Proof.

f

6 A ×

FCD

B ⇔

f

u

(

A ×

FCD

B

)

6

=

FCD

(

A

;

B

)

f

u

(

A ×

FCD

B

)

>

A

6

=

B

D

id

FCD

(

B

)

B

f

id

FCD

(

A

)

A

E

>

A

6

=

B

D

id

FCD

(

B

)

B

E

h

f

i

D

id

FCD

(

A

)

A

E

>

A

6

=

B

B u h

f

i

(

A u >

A

)

6

=

B

B u h

f

iA 6

=

B

A

[

f

]

B

.

Theorem

1126

.

Let

A

,

B

be sets of filters over boolean lattices. Then the

poset

FCD

(

A

;

B

) is separable.

Proof.

Let

f, g

FCD

(

A

;

B

) and

f

6

=

g

. By the theorem

1068

[

f

]

6

= [

g

].

That is there exist

x, y

A

such that

x

[

f

]

y

<

x

[

g

]

y

that is

f

u

(

x

×

FCD

y

)

6

=

FCD

(

A

;

B

)

<

g

u

(

x

×

FCD

y

)

6

=

FCD

(

A

;

B

)

. Thus

FCD

(

A

;

B

) is separable.

Theorem

1127

.

Let

A

and

B

be posets of filters over boolean lattices. If

S

P

(

A

×

B

) then

l

A ×

FCD

B

(

A

;

B

)

S

=

l

dom

S

×

FCD

l

im

S.