15.4. THE ORDER OF POINTFREE FUNCOIDS

206

2

.

αX

def

=

F

n

h

f

i

X

f

R

o

(by corollary

374

all joins on

B

exist). We have

α

A

=

B

;

α

(

I

t

Z

0

J

) =

G

h

f

i

(

I

t

Z

0

J

)

f

R

=

G

h

f

i

(

I

t

A

J

)

f

R

=

G

h

f

i

I

t

B

h

f

i

J

)

f

R

=

G

h

f

i

I

f

R

t

B

G

h

f

i

J

f

R

=

αI

t

B

αJ

(used theorem

1071

). By theorem

1082

the function

α

can be continued to

h

h

i

for

an

h

FCD

(

A

;

B

). Obviously

f

R

:

h

w

f.

(17)

And

h

is the least element of

FCD

(

A

;

B

) for which the condition (

17

holds. So

h

=

F

R

.

1

.

X

hG

R

i

Y

Y

u

B

DG

R

E

X

6

=

B

Y

u

B

G

h

f

i

X

f

R

6

=

B

f

R

:

Y

u

B

h

f

i

X

6

=

B

f

R

:

X

[

f

]

Y

(used theorem

385

).

Corollary

1090

.

If (

A

;

Z

0

) and (

B

;

Z

1

) are primary filtrators over boolean

lattices then

FCD

(

A

;

B

) is a complete lattice.

Proof.

Apply [

26

].

Theorem

1091

.

Let

A

and

B

be starrish join-semilattices. Then for

f, g

FCD

(

A

;

B

):

1

.

h

f

t

g

i

x

=

h

f

i

x

t h

g

i

x

for every

x

A

;

2

. [

f

t

g

]=[

f

]

[

g

].

Proof.

1

Let

α

X

def

=

h

f

i

x

t h

g

i

x

;

β

Y

def

=

f

1

y

t

g

1

y

for every

x

A

,

y

B

.

Then

y

6

B

αx

y

6 h

f

i

x

y

6 h

g

i

x

x

6

f

1

y

x

6

g

1

y

x

6

f

1

y

t

g

1

y

x

6

βy.