background image

14.1. SECOND PRODUCT. OBLIQUE PRODUCT

197

Proof.

(based on [

30

]) Consider the function

F

N

N

×

N

defined by the for-

mula (

x

;

y

)

7→

x

.

Let

ω

x

be a non-trivial ultrafilter on the vertical line

{

x

} ×

N

for every

x

N

.

Let

T

be the collection of such sets

Y

that

Y

(

{

x

} ×

N

)

ω

x

for all but

finitely many vertical lines. Obviously

T

is a filter.

Let

ω

atoms

T

.

For every

x

N

we have some

Y

T

for which (

{

x

} ×

N

)

Y

=

and thus

N

×

N

(

{

x

} ×

N

)

u

ω

=

F

(

N

×

N

)

.

Let

g

= (

RLD

(

N

;

N

)

F

)

|

ω

. If

g

is constant, then there exist a constant function

G

GR

g

and

F

G

is also constant. Obviously dom

RLD

(

N

×

N

;

N

)

(

F

G

)

w

ω

.

The function

F

G

cannot be constant because otherwise

ω

v

dom

RLD

(

N

×

N

;

N

)

(

F

G

)

v↑

N

×

N

(

{

x

} ×

N

) for some

x

N

what is impossible by proved above. So

g

is not constant.

Suppose that

g

is injective. Then there exists an injection

G

GR

g

. So dom

G

intersects each vertical line by atmost one element that is dom

G

intersects every

vertical line by the whole line or the line without one element. Thus dom

G

T

w

ω

and consequently dom

G /

ω

what is impossible.

Thus

g

is neither injective nor constant.

14.1. Second product. Oblique product

Definition

1046

.

A ×

RLD

F

B

= (

RLD

)

out

(

A ×

FCD

B

) for every filters

A

and

B

.

I will call it

second direct product

of filters

A

and

B

.

Remark

1047

.

The letter

F

is the above definition is from the word “funcoid”.

It signifies that it seems to be impossible to define

A ×

RLD

F

B

directly without

referring to funcoidal product.

Definition

1048

.

Oblique products

of filters

A

and

B

are defined as

A

n

B

=

l

RLD

f

f

Rel

(Base(

A

); Base(

B

))

,

B

∈ B

:

FCD

f

w A×

FCD

Base(

B

)

B

;

A

o

B

=

l

RLD

f

f

Rel

(Base(

A

); Base(

B

))

,

A

∈ A

:

FCD

f

w↑

Base(

B

)

A

×

FCD

B

.

Proposition

1049

.

A ×

RLD

F

B v A

n

B v A ×

RLD

B

for every filters

A

,

B

.

Proof.

A

n

B v

l

RLD

f

f

Rel

(Base(

A

); Base(

B

))

,

A

∈ A

, B

∈ B

:

FCD

f

w↑

Base(

B

)

A

×

FCD

Base(

B

)

B

v

l

Base(

B

)

A

×

RLD

Base(

B

)

B

A

∈ A

, B

∈ B

=

A ×

RLD

B

.

A

n

B w

l

RLD

f

f

Rel

(Base(

A

); Base(

B

))

,

FCD

f

w A ×

FCD

B

=

l

RLD

f

f

xyGR(

A ×

FCD

B

)

=

(

RLD

)

out

(

A ×

FCD

B

) =

A ×

RLD

F

B

.