14. COUNTER-EXAMPLES ABOUT FUNCOIDS AND RELOIDS

196

and thus (

RLD

)

out

h

=

RLD

(

N

;

N

)

.

Example

1040

.

There exists a funcoid

h

such that (

FCD

)(

RLD

)

out

h

6

=

h

.

Proof.

It follows from the previous example.

Example

1041

.

(

RLD

)

in

(

FCD

)

f

6

=

f

for some convex reloid

f

.

Proof.

Let

f

= id

RLD

(

N

)

. Then (

FCD

)

f

= id

FCD

(

N

)

. Let

a

be some non-

trivial ultrafilter on

N

. Then (

RLD

)

in

(

FCD

)

f

w

a

×

RLD

a

6v

id

RLD

(

N

)

and thus

(

RLD

)

in

(

FCD

)

f

6v

f

.

Example

1042

.

There exist composable funcoids

f

and

g

such that

(

RLD

)

out

(

g

f

)

6

= (

RLD

)

out

g

(

RLD

)

out

f.

Proof.

f

= id

FCD

Ω(

N

)

and

g

=

>

F

(

N

)

×

FCD

N

{

α

}

for some

α

N

. Then

(

RLD

)

out

f

=

RLD

(

N

;

N

)

and thus (

RLD

)

out

g

(

RLD

)

out

f

=

RLD

(

N

;

N

)

.

We have

g

f

= Ω(

N

)

×

FCD

N

{

α

}

.

Let’s prove (

RLD

)

out

(Ω(

N

)

×

FCD

N

{

α

}

) = Ω(

N

)

×

RLD

N

{

α

}

.

FiXme

: Sepa-

rate proposition asserting (

RLD

)

in

(

X ×

FCD

N

{

α

}

) = (

RLD

)

out

(

X ×

FCD

N

{

α

}

) =

X ×

RLD

N

{

α

}

. Does it hold for every (co)complete funcoid?

Really:

(

RLD

)

out

(Ω(

N

)

×

FCD

N

{

α

}

) =

l

D

RLD

(

N

;

N

)

E

GR(Ω(

N

)

×

FCD

N

{

α

}

) =

l

RLD

(

N

;

N

)

(

K

× {

α

}

)

K

Ω(

N

)

;

F

GR

l

RLD

(

N

;

N

)

(

K

× {

α

}

)

K

Ω(

N

)

GR

l

N

K

K

Ω(

N

)

×

RLD

N

{

α

}

for every

F

P

(

N

×

N

). Thus

l

RLD

(

N

;

N

)

(

K

× {

α

}

)

K

Ω(

N

)

=

l

N

K

K

Ω(

N

)

×

RLD

N

{

α

}

= Ω(

N

)

×

RLD

N

{

α

}

.

So (

RLD

)

out

(Ω(

N

)

×

FCD

N

{

α

}

) = Ω(

N

)

×

RLD

N

{

α

}

.

Thus (

RLD

)

out

(

g

f

) = Ω(

N

)

×

RLD

N

{

α

} 6

=

RLD

(

N

;

N

)

.

Example

1043

.

(

FCD

) does not preserve finite meets.

Proof.

(

FCD

)(id

RLD

(

N

)

u

(

>

RLD

(

N

;

N

)

\

id

RLD

(

N

)

))

=

(

FCD

)

RLD

(

N

;

N

)

=

FCD

(

N

;

N

)

.

On the other hand,

(

FCD

) id

RLD

(

N

)

u

(

FCD

)(

>

RLD

(

N

;

N

)

\

id

RLD

(

N

)

) =

id

FCD

(

N

)

u ↑

FCD

(

N

;

N

)

(

N

×

N

\

id

N

) = id

FCD

Ω(

N

)

6

=

FCD

(

N

;

N

)

(used proposition

799

).

Corollary

1044

.

(

FCD

) is not an upper adjoint (in general).

Considering restricting polynomials (considered as reloids) to ultrafilters, it is

simple to prove that each that restriction is injective if not restricting a constant

polynomial. Does this hold in general? No, see the following example:

Example

1045

.

There exists a monovalued reloid with atomic domain which

is neither injective nor constant (that is not a restriction of a constant function).