background image

13.4. CONSEQUENCES

190

Thus

f

=

f

u

(

RLD

(Src

f

;Dst

f

)

G

)

|

dom

f

=

(

RLD

(Src

f

;Dst

f

)

F

)

|

dom

f

u

(

RLD

(Src

f

;Dst

f

)

G

)

|

dom

f

=

(

RLD

(Src

f

;Dst

f

)

(

F

G

))

|

dom

f

.

Obviously

F

G

is an injection.

Theorem

1017

.

If a reloid

f

is monovalued and dom

f

is an principal filter

then

f

is principal.

Proof.

f

is a restricted principal monovalued reloid. Thus

f

=

F

|

dom

f

where

F

is a principal monovalued reloid. Thus

f

is principal.

Lemma

1018

.

If a filter

A

is isomorphic to a filter

B

then if

X

is a set then

there exists a set

Y

such that

Base(

A

)

X

u A

is a filter isomorphic to

Base(

B

)

Y

u B

.

Proof.

Let

f

be a monovalued injective reloid such that dom

f

=

A

, im

f

=

B

.

By proposition

494

we have:

Base(

A

)

X

u A

=

X

where

X

is a filter comple-

mentive to

A

. Let

Y

=

A \ X

.

h

(

FCD

)

f

iX u h

(

FCD

)

f

iY

=

F

(Base(

B

))

by injectivity of

f

.

h

(

FCD

)

f

iX th

(

FCD

)

f

iY

=

h

(

FCD

)

f

i

(

X tY

) =

h

(

FCD

)

f

iA

=

B

. So

h

(

FCD

)

f

iX

is a filter complementive to

B

. So by proposition

494

there exists a set

Y

such that

h

(

FCD

)

f

iX

=

Base(

B

)

Y

u B

.

f

|

X

is obviously a monovalued injective reloid with dom(

f

|

X

) =

Base(

A

)

X

u A

and im(

f

|

X

) =

Base(

B

)

Y

uB

. So

Base(

A

)

X

uA

is isomorphic to

Base(

B

)

Y

uB

.

Example

1019

.

A ≥

2

B ∧ B ≥

2

A

but

A

is not isomorphic to

B

for some filters

A

and

B

.

Proof.

(proof idea by

Andreas Blass

, rewritten using reloids by me)

Let

u

n

,

h

n

with

n

ranging over the set

Z

be sequences of ultrafilters on

N

and functions

N

N

such that

FCD

(

N

;

N

)

h

n

u

n

+1

=

u

n

and

u

n

are pairwise

non-isomorphic. (See [

6

for a proof that such ultrafilters and functions exist.)

A

def

=

F

n

Z

{

n

u

2

n

+1

n

Z

o

;

B

def

=

F

n

Z

{

n

u

2

n

n

Z

o

.

Let the

Set

-morphisms

f, g

:

Z

×

N

Z

×

N

be defined by the formulas

f

(

n

;

x

) = (

n

;

h

2

n

x

) and

g

(

n

;

x

) = (

n

1;

h

2

n

1

x

).