background image

2.1. ORDER THEORY

19

Proof.

Let

A

be a bounded distributive lattice and

Z

(

A

) be its center. Let

a, b

Z

(

A

). Consequently ¯

a,

¯

b

Z

(

A

). Then ¯

a

t

¯

b

is the complement of

a

u

b

because

(

a

u

b

)

u

a

t

¯

b

) = (

a

u

b

u

¯

a

)

t

(

a

u

b

u

¯

b

) =

⊥ t ⊥

=

and

(

a

u

b

)

t

a

t

¯

b

) = (

a

t

¯

a

t

¯

b

)

u

(

b

t

¯

a

t

¯

b

) =

> u >

=

>

.

So

a

u

b

is complemented. Similarly

a

t

b

is complemented.

Theorem

89

.

The center of a bounded distributive lattice constitutes a

boolean lattice.

Proof.

Because it is a distributive complemented lattice.

2.1.10. Atoms of posets.

Definition

90

.

An atom of a poset is an element which has no non-least

subelements.

Remark

91

.

This definition is valid even for posets without least element.

I will denote atoms

A

a

or just (atoms

a

) the set of atoms contained in an element

a

of a poset

A

. I will denote atoms

A

the set of all atoms of a poset

A

.

Definition

92

.

A poset

A

is called

atomic

iff atoms

a

6

=

for every non-least

element

a

of the poset

A

.

Definition

93

.

Atomistic poset

is such a poset that

a

=

F

atoms

a

for every

non-least element

a

of this poset.

Obvious

94

.

Every atomistic poset is atomic.

Proposition

95

.

FiXme

: It is also equivalent to

a

atoms

B

.

Let

A

be a poset.

If

a

is an atom of

A

and

B

A

then

a

v

B

a

6

B

.

Proof.

.

a

v

B

a

v

a

a

v

B

, thus

a

6

B

because

a

is not least.

.

a

6

B

implies existence of non-least element

x

such that

x

v

B

and

x

v

a

.

Because

a

is an atom, we have

x

=

a

. So

a

v

B

.

Theorem

96

.

atoms

d

S

=

T

h

atoms

i

S

whenever

d

S

is defined for every

S

P

A

where

A

is a poset.

Proof.

For any atom

c

atoms

l

S

c

v

l

S

a

S

:

c

v

a

a

S

:

c

atoms

a

c

\

h

atoms

i

S.

Corollary

97

.

atoms(

a

u

b

) = atoms

a

atoms

b

for an arbitrary meet-

semilattice.

Theorem

98

.

A complete boolean lattice is atomic iff it is atomistic.

Proof.

. Obvious.