background image

13.2. ORDERING OF FILTERS

186

Proof.

Suppose

A

µ

.

Since

A

µ

we have

B

0

µ

or

B

1

µ

.

So either

B

0

∩ h

f

i

B

0

B

2

or

B

1

∩ h

f

i

B

1

B

2

. As such by the lemma

986

we have

B

2

µ

. This is incompatible with

B

2

∩ h

f

i

B

2

=

. So we got a

contradiction.

Let

C

be the set of points

x

which are not periodic but

f

n

(

x

) is periodic for

some positive

n

.

Lemma

991

.

C /

µ

.

Proof.

Let

β

be a function

C

N

such that

β

(

x

) is the least

n

N

such

that

f

n

(

x

) is periodic.

Let

C

0

=

n

x

C

β

(

x

) is even

o

and

C

0

=

n

x

C

β

(

x

) is odd

o

.

Obviously

C

j

∩h

f

i

C

j

=

for

j

= 0

,

1. Hence by lemma

986

we have

C

0

, C

1

/

µ

and thus

C

=

C

0

C

1

/

µ

.

Let

E

be the set of

x

I

such that for no

n

N

we have

f

n

(

x

) periodic.

Lemma

992

.

Let

x, y

E

be such that

f

i

(

x

) =

f

j

(

y

) and

f

i

0

(

x

) =

f

j

0

(

y

) for

some

i, j, i

0

, j

0

N

. Then

i

j

=

i

0

j

0

.

Proof.

i

7→

f

i

(

x

) is a bijection.

So

y

=

f

i

j

(

y

) and

y

=

f

i

0

j

0

(

y

). Thus

f

i

j

(

y

) =

f

i

0

j

0

(

y

) and so

i

j

=

i

0

j

0

.

Lemma

993

.

E /

µ

.

Proof.

Let

D

0

E

be a subset of

E

with exactly one element from each

equivalence class of the relation

on

E

.

Define the function

γ

:

E

Z

as follows. Let

x

E

. Let

y

be the unique

element of

D

0

such that

x

y

. Choose

i, j

N

such that

f

i

(

y

) =

f

j

(

x

). Let

γ

(

x

) =

i

j

. By the last lemma,

γ

is well-defined.

It is clear that if

x

E

then

f

(

x

)

E

and moreover

γ

(

f

(

x

)) =

γ

(

x

) + 1.

Let

E

0

=

n

x

E

γ

(

x

) is even

o

and

E

1

=

n

x

E

γ

(

x

) is odd

o

.

We have

E

0

∩ h

f

i

E

0

=

/

µ

and hence

E

0

/

µ

.

Similarly

E

1

/

µ

.

Thus

E

=

E

0

E

1

/

µ

.

Lemma

994

.

f

is the identity function on a set in

µ

.

Proof.

We have shown

A, C, E /

µ

. But the points which lie in none of these

sets are exactly points periodic with period 1 that is fixed points of

f

. Thus the

set of fixed points of

f

belongs to the filter

µ

.

13.2.1.2.

The main theorem and its consequences.

Theorem

995

.

For every ultrafilter

a

the morphism (

a

;

a

; id

FCD

a

) is the only

1

. monovalued morphism of the category of reloid triples from

a

to

a

;

2

. injective morphism of the category of reloid triples from

a

to

a

;

3

. bijective morphism of the category of reloid triples from

a

to

a

.

Proof.

We will prove only

1

because the rest follow from it.

Let

f

be a monovalued morphism from Base(

a

) to Base(

a

). Then it exists

a

Set

-morphism

F

such that

F

xyGR

f

. Trivially

FCD

F

a

w

a

and thus

h

F

i

A

a

for every

A

a

. Thus by the lemma we have that

F

is the identity

function on a set in

a

and so obviously

f

is an identity.