background image

13.2. ORDERING OF FILTERS

180

Proof.

First let’s prove it is a category. Let

f

:

A → B

and

g

:

B → C

be

morphisms of

FuncBij

. Then

f

: Base(

A

)

Base(

B

) and

g

: Base(

B

)

Base(

C

)

are bijections and

B

=

FCD

f

A

and

C

=

FCD

g

B

. Thus

g

f

: Base(

A

)

Base(

C

) is a bijection and

C

=

FCD

(

g

f

)

A

. Thus

g

f

is a morphism of

FuncBij

. id

Base(

A

)

is the identity morphism of

FuncBij

for every filter

A

. Thus

it is a category.

It remains to prove only that every morphism

f

Mor

FuncBij

(

A

;

B

) has a

reverse (for every filters

A

,

B

). We have

f

is a bijection Base(

A

)

Base(

B

) such

that for every

C

P

Base(

A

)

h

f

i

C

∈ B ⇔

C

∈ A

.

Then

f

1

: Base(

B

)

Base(

A

) is a bijection such that for every

C

P

Base(

B

)

f

1

C

∈ A ⇔

C

∈ B

.

Thus

f

1

Mor

FuncBij

(

B

;

A

).

Corollary

966

.

Being directly isomorphic is an equivalence relation.

Rudin-Keisler order of ultrafilters is considered in such a book as [

37

].

Obvious

967

.

For the case of ultrafilters being directly isomorphic is the same

as being Rudin-Keisler equivalent.

Definition

968

.

A filter

A

is

isomorphic

to a filter

B

iff there exist sets

A

∈ A

and

B

∈ B

such that

A ÷

A

is directly isomorphic to

B ÷

B

.

Obvious

969

.

Equivalent filters are isomorphic.

Theorem

970

.

Being isomorphic (for small filters) is an equivalence relation.

Proof.

Reflexivity. Because every filter is directly isomorphic to itself.

Symmetry. If filter

A

is isomorphic to

B

then there exist sets

A

∈ A

and

B

∈ B

such that

A ÷

A

is directly isomorphic to

B ÷

B

and thus

B ÷

B

is directly

isomorphic to

A ÷

A

. So

B

is isomorphic to

A

.

Transitivity. Let

A

be isomorphic to

B

and

B

be isomorphic to

C

. Then exist

A

∈ A

,

B

1

∈ B

,

B

2

∈ B

,

C

∈ C

such that there are bijections

f

:

A

B

1

and

g

:

B

2

C

such that

X

P

A

: (

X

∈ B ⇔

f

1

X

∈ A

) and

X

P

B

2

: (

X

∈ A ⇔ h

f

i

X

∈ B

)

.

Also

X

P

B

2

: (

X

∈ B ⇔ h

g

i

X

∈ C

).

So

g

f

is a bijection from

f

1

(

B

1

B

2

)

∈ A

to

h

g

i

(

B

1

B

2

)

∈ C

such that

X

∈ A ⇔ h

f

i

X

∈ B ⇔ h

g

i

h

f

i

X

∈ C ⇔ h

g

f

i

X

∈ C

.

Thus

g

f

establishes a bijection which proves that

A

is isomorphic to

C

.

Lemma

971

.

Let card

X

= card

Y

,

u

be an ultrafilter on

X

and

v

be an

ultrafilter on

Y

; let

A

u

and

B

v

. Let

u

÷

A

and

v

÷

B

be directly isomorphic.

Then if card(

X

\

A

) = card(

Y

\

B

) we have

u

and

v

directly isomorphic.

Proof.

Arbitrary extend the bijection witnessing being directly isomorphic to

the sets

X

\

A

and

X

\

B

.

Theorem

972

.

If card

X

= card

Y

then being isomorphic and being directly

isomorphic are the same for ultrafilters

u

on

X

and

v

on

Y

.