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2.1. ORDER THEORY

18

Definition

78

.

A complete lattice

A

is

join infinite distributive

when

x

u

F

S

=

F

h

x

ui

S

; a complete lattice

A

is

meet infinite distributive

when

x

t

d

S

=

d

h

x

ti

S

for all

x

A

and

S

P

A

.

Definition

79

.

Infinite distributive complete lattice

is a complete lattice which

is both join infinite distributive and meet infinite distributive.

Theorem

80

.

Every complete boolean lattice is both join infinite distributive

and meet infinite distributive.

Proof.

We will prove only join infinitely distributivity, as the other is dual.

Let

S

be a subset of a complete boolean lattice.

x

u

F

S

w

F

h

x

ui

S

is obvious. Now let

u

be any upper bound of

h

x

ui

S

, that

is

x

u

y

v

u

for all

y

S

. Then

y

=

y

u

(

x

t

¯

x

) = (

y

u

x

)

t

(

y

u

¯

x

)

v

u

t

¯

x,

and so

F

S

v

u

t

¯

x

. Thus

x

u

G

S

v

x

u

(

u

t

¯

x

) = (

x

u

u

)

t

(

x

u

¯

x

) = (

x

u

u

)

t ⊥

=

x

u

u

v

u,

that is

x

u

F

S

is the least upper bound of

h

x

ui

S

.

Theorem

81

.

(infinite De Morgan’s laws) For every subset

S

of a complete

boolean lattice

1

.

F

S

=

d

x

S

¯

x

;

2

.

d

S

=

F

x

S

¯

x

.

Proof.

It’s enough to prove that

F

S

is a complement of

d

x

S

¯

x

(the second

follows from duality). Really, using the previous theorem:

G

S

t

l

x

S

¯

x

=

l

x

S

DG

S

t

E

¯

x

=

l

x

S

 F

S

t

¯

x

x

S

w

l

x

S

x

t

¯

x

x

S

=

>

;

G

S

u

l

x

S

¯

x

=

G

y

S

*

l

x

S

¯

x

u

+

y

=

G

y

S

d

x

S

¯

x

u

y

y

S

v

G

¯

y

u

y

y

S

=

.

So

F

S

t

d

x

S

¯

x

=

>

and

F

S

u

d

x

S

¯

x

=

.

2.1.9. Center of a lattice.

Definition

82

.

The

center

Z

(

A

) of a bounded distributive lattice

A

is the set

of its complemented elements.

Remark

83

.

For a definition of center of non-distributive lattices see [

5

].

Remark

84

.

In [

23

the word center and the notation

Z

(

A

) are used in a

different sense.

Definition

85

.

FiXme

: “sublattice” isn’t defined.

A sublattice

K

of a complete

lattice

L

is a

closed sublattice

of

L

if

K

contains the meet and the join of any its

nonempty subset.

Theorem

86

.

Center of an infinitely distributive lattice is its closed sublattice.

Proof.

See [

16

].

Remark

87

.

See [

17

for a more strong result.

Theorem

88

.

The center of a bounded distributive lattice constitutes its sub-

lattice.