background image

13.2. ORDERING OF FILTERS

177

13.2. Ordering of filters

Below I will define some categories having filters (with possibly different bases)

as their objects and some relations having two filters (with possibly different bases)

as arguments induced by these categories (defined as existence of a morphism be-

tween these two filters).

Theorem

946

.

card

a

= card

U

for every ultrafilter

a

on

U

if

U

is infinite.

Proof.

Let

f

(

X

) =

X

if

X

a

and

f

(

X

) =

U

\

X

if

X /

a

. Obviously

f

is a

surjection from

U

to

a

.

Every

X

a

appears as a value of

f

exactly twice, as

f

(

X

) and

f

(

U

\

X

). So

card

a

= (card

U

)

/

2 = card

U

.

Corollary

947

.

Cardinality of every two ultrafilters on a set

U

is the same.

Proof.

For infinite

U

it follows from the theorem. For finite case it is obvious.

Definition

948

.

f

∗ A

=

n

C

P

(Dst

f

)

h

f

1

i

C

∈A

o

for every filter

A

and a

Set

-morphism

f

.

1

Below I’ll define some directed multigraphs. By an abuse of notation, I will

denote these multigraphs the same as (below defined) categories based on some

of these directed multigraphs with added composition of morphisms (of directed

multigraphs edges). As such I will call vertices of these multigraphs objects and

edges morphisms.

Definition

949

.

I will denote

GreFunc

1

the multigraph whose objects are

filters and whose morphisms between objects

A

and

B

are

Set

-morphisms from

Base(

A

) to Base(

B

) such that

B ⊇

f

∗ A

.

Definition

950

.

I will denote

GreFunc

2

the multigraph whose objects are

filters and whose morphisms between objects

A

and

B

are

Set

-morphisms from

Base(

A

) to Base(

B

) such that

B

=

f

∗ A

.

Definition

951

.

Let

A

be a filter on a set

X

and

B

is a filter on a set

Y

.

A ≥

1

B

iff Mor

GreFunc

1

(

A

;

B

) is not empty.

Definition

952

.

Let

A

be a filter on a set

X

and

B

is a filter on a set

Y

.

A ≥

2

B

iff Mor

GreFunc

2

(

A

;

B

) is not empty.

Proposition

953

.

1

.

f

Mor

GreFunc

1

(

A

;

B

) iff

f

is a

Set

-morphism from Base(

A

) to Base(

B

)

such that

C

∈ B ⇐

f

1

C

∈ A

for every

C

P

Base(

B

).

2

.

f

Mor

GreFunc

2

(

A

;

B

) iff

f

is a

Set

-morphism from Base(

A

) to Base(

B

)

such that

C

∈ B ⇔

f

1

C

∈ A

for every

C

P

Base(

B

).

Proof.

1

.

f

Mor

GreFunc

1

(

A

;

B

)

⇔ B ⊇

f

∗ A ⇔

C

f

∗ A

:

C

∈ B ⇔ ∀

C

P

Base(

B

) : (

f

1

C

∈ A ⇒

C

∈ B

)

.

1

We will assume that

f

∗ A

is just a set, while it is not yet proved that it is a filter.