13.1. EQUIVALENT FILTERS

176

Proposition

942

.

If

X

∈ A

:

X

A

then:

1

.

A ÷

A

is a filter on

A

;

2

.

A ÷

A

∼ A

.

Proof.

1

We need to prove that

n

X

P

A

Y

∈A

:

Y

X

o

is a filter on

A

. That it is an upper set

is obvious. It is non-empty because

Y

∈ A

:

Y

A

and thus

A

n

X

P

A

Y

∈A

:

Y

X

o

.

Let

P, Q

n

X

P

A

Y

∈A

:

Y

X

o

. Then

P, Q

A

and

P

0

∈ A

:

P

0

P

and

Q

0

∈ A

:

Q

0

Q

. So

P

Q

A

and

P

0

Q

0

P

Q

. Thus

P

Q

n

X

P

A

Y

∈A

:

Y

X

o

.

2

.

(

A ÷

A

)

P

(

A

Base(

A

)) =

X

P

A

Y

∈ A

:

Y

X

P

(

A

Base(

A

)) =

X

P

A

Y

∈ A

:

Y

X

P

Base(

A

) =

X

P

(

A

Base(

A

))

Y

∈ A

:

Y

X

=

A ∩

P

(

A

Base(

A

))

.

Thus

A ÷

A

∼ A

because

A

Base(

A

)

X

∈ A

for some

X

∈ A

and

A

Base(

A

)

X

Base(

A

)

X

P

A

Y

∈ A

:

Y

X

=

A ÷

A.

Proposition

943

.

A

∈ A ⇒ A ÷

A

=

P

A

∩ A

.

Proof.

Let

A

∈ A

. Then

A ÷

A

=

n

X

P

A

Y

∈A

:

Y

X

o

=

X

P

A

X

∈A

=

P

A

∩ A

.

Lemma

944

.

If

A ∼ B

then

Y

∈ A

:

Y

X

⇔ ∃

Y

∈ B

:

Y

X

for every

filters

A

,

B

, and a set

X

.

Proof.

We will prove

Y

∈ A

:

Y

X

⇒ ∃

Y

∈ B

:

Y

X

(the other

direction is similar).

We have

P

K

∩ A

=

P

K

∩ B

for some set

K

such that

K

∈ A

,

K

∈ B

.

Y

∈ A

:

Y

X

⇒ ∃

Y

P

K

∩A

:

Y

X

⇒ ∃

Y

P

K

∩B

:

Y

X

⇒ ∃

Y

∈ B

:

Y

X.

Proposition

945

.

If

A ∼ B

then

B

=

A ÷

Base(

B

) for every filters

A

,

B

.

Proof.

P

Y

∩ A

=

P

Y

∩ B

for some set

Y

∈ A

,

Y

∈ B

. There exists a set

X

∈ A

such that

X

∈ B

. Thus

X

∈ A

:

X

Base(

B

) and so

A ÷

Base(

B

) is a

filter.

X

∈ A ÷

Base(

B

)

X

P

Base(

B

)

∧ ∃

Y

∈ A

:

Y

X

X

P

Base(

B

)

∧ ∃

Y

∈ B

:

Y

X

X

∈ B

(the lemma used).