background image

CHAPTER 13

Orderings of filters in terms of reloids

Whilst the other chapters of this book use filters to research funcoids and

reloids, here the opposite thing is discussed, the theory of reloids is used to describe

properties of filters.

In this chapter the word

filter

is used to denote a filter on a set (not on an

arbitrary poset) only.

13.1. Equivalent filters

Definition

938

.

Two filters

A

and

B

(with possibly different base sets) are

equivalent (

A ∼ B

) iff there exists a set

X

such that

X

∈ A

and

X

∈ B

and

P

X

∩ A

=

P

X

∩ B

.

Proposition

939

.

If two filters with the same base are equivalent they are

equal.

Proof.

Let

A

and

B

be two filters and

P

X

∩ A

=

P

X

∩ B

for some set

X

such that

X

∈ A

and

X

∈ B

, and Base(

A

) = Base(

B

). Then

A

= (

P

X

∩ A

)

Y

P

Base(

A

)

Y

X

=

(

P

X

∩ B

)

Y

P

Base(

B

)

Y

X

=

B

.

Proposition

940

.

restricted to small filters is an equivalence relation.

Proof.

Reflexivity. Obvious.

Symmetry. Obvious.

Transitivity. Let

A ∼ B

and

B ∼ C

for some small filters

A

,

B

, and

C

. Then there

exist a set

X

such that

X

∈ A

and

X

∈ B

and

P

X

∩ A

=

P

X

∩ B

and a

set

Y

such that

Y

∈ B

and

Y

∈ C

and

P

Y

∩ B

=

P

Y

∩ C

. So

X

Y

∈ A

because

P

Y

P

X

∩ A

=

P

Y

P

X

∩ B

=

P

(

X

Y

)

∩ B ⊇ {

X

Y

} ∩ B 3

X

Y.

Similarly we have

X

Y

∈ C

. Finally

P

(

X

Y

)

∩ A

=

P

Y

P

X

∩ A

=

P

Y

P

X

∩ B

=

P

X

P

Y

∩ B

=

P

X

P

Y

∩ C

=

P

(

X

Y

)

∩ C

.

Definition

941

.

The

rebase

A ÷

A

for a filter

A

and a set

A

(base) such that

X

∈ A

:

X

A

is defined by the formula

A ÷

A

=

X

P

A

Y

∈ A

:

Y

X

.

175