background image

12.5. ADDITIONAL PREDICATES

174

Question

934

.

Under which conditions it’s true that join of (

α

-,

β

-) totally

bounded reloids is also totally bounded?

12.5. Additional predicates

We may consider also the following predicates expressing different kinds of what

is intuitively is understood as boundness. Their usefulness is unclear, but I present

them for completeness.

• ∀

E

GR

f

n

N

: thick

α

(

E

n

)

• ∀

E

GR

f

n

N

: thick

β

(

E

n

)

• ∀

E

GR

f

n

N

: thick

α

(

E

0

. . .

E

n

)

• ∀

E

GR

f

n

N

: thick

β

(

E

0

. . .

E

n

)

• ∃

n

N

: totBound

α

(

f

n

)

• ∃

n

N

: totBound

β

(

f

n

)

• ∃

n

N

: totBound

α

(

f

0

t

. . .

t

f

n

)

• ∃

n

N

: totBound

β

(

f

0

t

. . .

t

f

n

)

totBound

α

(

S

(

f

))

totBound

β

(

S

(

f

))

Some of the above defined predicates are equivalent:

Proposition

935

.

• ∀

E

GR

f

n

N

: thick

α

(

E

n

)

⇔ ∃

n

N

: totBound

α

(

f

n

).

• ∀

E

GR

f

n

N

: thick

β

(

E

n

)

⇔ ∃

n

N

: totBound

β

(

f

n

).

Proof.

Because every

F

GR

f

n

is a superset of

E

n

for some

E

GR

f

.

Proposition

936

.

• ∀

E

GR

f

n

N

: thick

α

(

E

0

. . .

E

n

)

⇔ ∃

n

N

: totBound

α

(

f

0

t

. . .

t

f

n

)

• ∀

E

GR

f

n

N

: thick

β

(

E

0

. . .

E

n

)

⇔ ∃

n

N

: totBound

β

(

f

0

t

. . .

t

f

n

)

Proof.

f

0

t

. . .

t

f

n

=

f

0

. . .

f

n

. Thus for every

F

GR(

f

0

. . .

f

n

) we

have

F

f

k

, thus

F

E

k

k

for all

k

for some

E

k

GR

f

and so

F

E

0

. . .

E

n

where

E

=

E

0

∩ · · · ∩

E

k

GR

f

.

Proposition

937

.

All predicates in the above list are pairwise equivalent in

the case if

f

is a uniform space.

Proof.

Because

f

f

=

f

.