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11.5. ALGEBRAIC PROPERTIES OF

S

AND

S

169

Theorem

902

.

A filter

A

is connected regarding a reloid

f

iff

A

is connected

regarding every

F

RLD

xyGR

f

.

Proof.

. Obvious.

.

A

is connected regarding

RLD

F

iff

S

(

F

) =

F

0

t

F

1

t

F

2

t · · · ∈ A ×

RLD

A

.

S

(

f

) =

d

n

RLD

S

(

F

)

F

xyGR

f

o

w

d

n

RLD

A

F

xyGR

f

o

=

A ×

RLD

A

.

Conjecture

903

.

A filter

A

is connected regarding a funcoid

f

iff

A

is con-

nected regarding every

F

FCD

xyGR

f

.

The above conjecture is open even for the case when

A

is a principal filter.

Conjecture

904

.

A filter

A

is connected regarding a reloid

f

iff it is connected

regarding the funcoid (

FCD

)

f

.

The above conjecture is true in the special case of principal filters:

Proposition

905

.

A filter

Ob

µ

A

(for a set

A

) is connected regarding an

endoreloid

f

iff it is connected regarding the endofuncoid (

FCD

)

f

.

Proof.

Ob

µ

A

is connected regarding a reloid

f

iff

A

is connected regarding

every

F

xyGR

f

that is when (taken into account that connectedness for

RLD

F

is the same as connectedness of

FCD

F

)

F

xyGR

f

∀X

,

Y ∈

F

(Ob

f

)

\ {⊥

F

(Ob

f

)

}

: (

X t Y

=

Ob

f

A

⇒ X

FCD

F

Y

)

∀X

,

Y ∈

F

(Ob

f

)

\ {⊥

F

(Ob

f

)

}∀

F

xyGR

f

: (

X t Y

=

Ob

f

A

⇒ X

FCD

F

Y

)

∀X

,

Y ∈

F

(Ob

f

)

\ {⊥

F

(Ob

f

)

}

(

X t Y

=

Ob

f

A

⇒ ∀

F

xyGR

f

:

X

FCD

F

Y

)

∀X

,

Y ∈

F

(Ob

f

)

\ {⊥

F

(Ob

f

)

}

(

X t Y

=

Ob

f

A

⇒ X

[(

FCD

)

f

]

Y

)

that is when the set

Ob

µ

A

is connected regarding the funcoid (

FCD

)

f

.

Conjecture

906

.

A set

A

is connected regarding an endofuncoid

µ

iff for

every

a, b

A

there exists a totally ordered set

P

A

such that min

P

=

a

,

max

P

=

b

and

q

P

\ {

b

}

:

x

P

x

q

[

µ

]

x

P

x > q

.

Weaker condition:

q

P

\ {

b

}

:

x

P

x

q

[

µ

]

x

P

x > q

∨ ∀

q

P

\ {

a

}

:

x

P

x < q

[

µ

]

x

P

x

q

.

11.5. Algebraic properties of

S

and

S

Theorem

907

.

S

(

S

(

f

)) =

S

(

f

) for every endoreloid

f

.