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11.4. CONNECTEDNESS REGARDING FUNCOIDS AND RELOIDS

168

Proposition

892

.

S

(

µ

) = id

RLD

(Ob

µ

)

t

S

1

(

µ

) for every endoreloid

µ

.

Proof.

By the proposition

457

.

Proposition

893

.

S

(

µ

) =

S

(

µ

) if

µ

is a principal reloid.

Proof.

S

(

µ

) =

d

{

S

(

µ

)

}

=

S

(

µ

).

Definition

894

.

A filter

A ∈

F

(Ob

µ

) is called

connected

regarding an en-

doreloid

µ

when

S

(

µ

u

(

A ×

RLD

A

))

w A ×

RLD

A

.

Obvious

895

.

A filter

A ∈

F

(Ob

µ

) is connected regarding an endoreloid

µ

iff

S

(

µ

u

(

A ×

RLD

A

)) =

A ×

RLD

A

.

Definition

896

.

A filter

A ∈

F

(Ob

µ

) is called

connected

regarding an endo-

funcoid

µ

when

∀X

,

Y ∈

F

(Ob

µ

)

\ {⊥

F

(Ob

µ

)

}

: (

X t Y

=

A ⇒ X

[

µ

]

Y

)

.

Proposition

897

.

Let

A

be a set. The filter

Ob

µ

A

is connected regarding

an endofuncoid

µ

iff

X, Y

P

(Ob

µ

)

\ {∅}

: (

X

Y

=

A

X

[

µ

]

Y

)

.

Proof.

. Obvious.

. It follows from co-separability of filters.

Theorem

898

.

The following are equivalent for every set

A

and binary relation

µ

on a set

U

:

1

.

A

is connected regarding binary relation

µ

.

2

.

U

A

is connected regarding

RLD

(

U

;

U

)

µ

.

3

.

U

A

is connected regarding

FCD

(

U

;

U

)

µ

.

Proof.

1

2

.

S

(

RLD

(

U

;

U

)

µ

u

(

U

A

×

RLD

U

A

)) =

S

(

RLD

(

U

;

U

)

(

µ

(

A

×

A

))) =

RLD

(

U

;

U

)

S

(

µ

(

A

×

A

))

.

So

S

(

RLD

(

U

;

U

)

µ

u

(

U

A

×

RLD

U

A

))

w↑

U

A

×

RLD

U

A

RLD

(

U

;

U

)

S

(

µ

(

A

×

A

))

w↑

RLD

(

U

;

U

)

(

A

×

A

) =

U

A

×

RLD

U

A.

1

3

It follows from the previous proposition.

Next is conjectured a statement more strong than the above theorem:

Conjecture

899

.

Let

A

be a filter on a set

U

and

F

is a binary relation on

U

.

A

is connected regarding

FCD

(

U

;

U

)

F

iff

A

is connected regarding

RLD

(

U

;

U

)

F

.

Obvious

900

.

A filter

A

is connected regarding a reloid

µ

iff it is connected

regarding the reloid

µ

u

(

A ×

RLD

A

).

Obvious

901

.

A filter

A

is connected regarding a funcoid

µ

iff it is connected

regarding the funcoid

µ

u

(

A ×

FCD

A

).