background image

CHAPTER 11

Connectedness regarding funcoids and reloids

Definition

874

.

I will call

endoreloids

and

endofuncoids

reloids and funcoids

with the same source and destination.

FiXme

: Move above “continuity” chapter.

11.1. Some lemmas

Lemma

875

.

If

¬

(

A

[

f

]

B

)

A

B

dom

f

t

im

f

then

f

is closed on

U

A

for a funcoid

f

FCD

(

U

;

U

) for every sets

U

and

A, B

P

U

.

Proof.

Let

A

B

dom

f

t

im

f

.

¬

(

A

[

f

]

B

)

U

B

u h

f

i

A

=

F

(

U

)

(dom

f

t

im

f

)

u ↑

U

B

u h

f

i

A

=

F

(

U

)

((dom

f

t

im

f

)

\ ↑

U

A

)

u h

f

i

A

=

F

(

U

)

h

f

i

A

v↑

U

A.

Corollary

876

.

If

¬

(

A

[

f

]

B

)

A

B

dom

f

t

im

f

then

f

is closed on

U

(

A

\

B

) for a funcoid

f

FCD

(

U

;

U

) for every sets

U

and

A, B

P

U

.

Proof.

Let

¬

(

A

[

f

]

B

)

A

B

dom

f

t

im

f

. Then

¬

((

A

\

B

) [

f

]

B

)

(

A

\

B

)

B

dom

f

t

im

f.

Lemma

877

.

If

¬

(

A

[

f

]

B

)

A

B

dom

f

t

im

f

then

¬

(

A

[

f

n

]

B

) for

every whole positive

n

.

Proof.

Let

¬

(

A

[

f

]

B

)

A

B

dom

f

t

im

f

. From the above lemma

h

f

i

A

v↑

U

A

.

U

B

uh

f

i ↑

U

A

=

F

(

U

)

, consequently

h

f

i

A

v↑

U

(

A

\

B

). Because

(by the above corollary)

f

is closed on

U

(

A

\

B

), then

h

f

ih

f

i ↑

U

A

v↑

U

(

A

\

B

),

h

f

ih

f

ih

f

i ↑

U

A

v↑

U

(

A

\

B

), etc. So

h

f

n

i ↑

U

A

v↑

U

(

A

\

B

),

U

B

 h

f

n

i ↑

U

A

,

¬

(

A

[

f

n

]

B

).

11.2. Endomorphism series

Definition

878

.

S

1

(

µ

) =

µ

t

µ

2

t

µ

3

t

. . .

for an endomorphism

µ

of a pre-

category with countable join of morphisms (that is join defined for every countable

set of morphisms).

Definition

879

.

S

(

µ

) =

µ

0

t

S

1

(

µ

) =

µ

0

t

µ

t

µ

2

t

µ

3

t

. . .

where

µ

0

= 1

Ob

µ

(identity morphism for the object Ob

µ

) where Ob

µ

is the object of endomorphism

µ

for an endomorphism

µ

of a category with countable join of morphisms.

165