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10.3. CONTINUITY OF A RESTRICTED MORPHISM

163

Proof.

Let

f

C

00

(

µ

;

ν

). Then

f

µ

f

v

ν

;

f

µ

f

f

v

ν

f

;

f

µ

1

Src

f

v

ν

f

;

f

µ

v

ν

f

;

f

C(

µ

;

ν

).

Let

f

C(

µ

;

ν

). Then

f

µ

v

ν

f

;

f

f

µ

v

f

ν

f

; 1

Src

µ

µ

v

f

ν

f

;

µ

v

f

ν

f

;

f

C

0

(

µ

;

ν

).

For entirely defined monovalued morphisms our three definitions of continuity

coincide:

Theorem

870

.

If

f

is a monovalued and entirely defined morphism of a par-

tially ordered dagger precategory then

f

C

0

(

µ

;

ν

)

f

C(

µ

;

ν

)

f

C

00

(

µ

;

ν

)

.

Proof.

From two previous propositions.

The classical general topology theorem that uniformly continuous function from

a uniform space to an other uniform space is proximity-continuous regarding the

proximities generated by the uniformities, generalized for reloids and funcoids takes

the following form:

Theorem

871

.

If an entirely defined morphism of the category of reloids

f

C

00

(

µ

;

ν

) for some endomorphisms

µ

and

ν

of the category of reloids, then (

FCD

)

f

C

0

((

FCD

)

µ

; (

FCD

)

ν

).

Exercise

872

.

I leave a simple exercise for the reader to prove the last theorem.

10.3. Continuity of a restricted morphism

Consider some partially ordered semigroup. (For example it can be the semi-

group of funcoids or semigroup of reloids on some set regarding the composition.)

Consider also some lattice (

lattice of objects

). (For example take the lattice of set

theoretic filters.)

We will map every object

A

to so called

restricted identity

element

I

A

of the

semigroup (for example restricted identity funcoid or restricted identity reloid). For

identity elements we will require

1

.

I

A

I

B

=

I

A

u

B

;

2

.

f

I

A

v

f

;

I

A

f

v

f

.

In the case when our semigroup is “dagger” (that is is a dagger precategory) we

will require also (

I

A

)

=

I

A

.

We can define restricting an element

f

of our semigroup to an object

A

by the

formula

f

|

A

=

f

I

A

.

We can define

rectangular restricting

an element

f

of our semigroup to objects

A

and

B

as

I

B

f

I

A

. Optionally we can define direct product

A

×

B

of two

objects by the formula (true for funcoids and for reloids):

f

u

(

A

×

B

) =

I

B

f

I

A

.

Square restricting

of an element

f

to an object

A

is a special case of rectangular

restricting and is defined by the formula

I

A

f

I

A

(or by the formula

f

u

(

A

×

A

)).

Theorem

873

.

For every elements

f

, ţ,

ν

our semigroup and an object

A

1

.

f

C(

µ

;

ν

)

f

|

A

C(

I

A

µ

I

A

;

ν

);

2

.

f

C

0

(

µ

;

ν

)

f

|

A

C

0

(

I

A

µ

I

A

;

ν

);

3

.

f

C

00

(

µ

;

ν

)

f

|

A

C

00

(

I

A

µ

I

A

;

ν

).

(Two last items are true for the case when our semigroup is dagger.)

Proof.