background image

7.7. COMPLETE RELOIDS AND COMPLETION OF RELOIDS

141

1

Let

f

be a monovalued reloid. Then

f

f

1

v

id

RLD

(Dst

f

)

. So there exists

h

GR(

f

f

1

) = GR

l

RLD

(Dst

f

;Dst

f

)

(

F

F

1

)

F

GR

f

such that

RLD

(Dst

f

;Dst

f

)

h

v

id

RLD

(Dst

f

)

. It’s simple to show that

n

F

F

1

F

GR

f

o

is a

filter base. Consequently there exists

F

GR

f

such that

F

F

1

id

Dst

f

that

is

F

is a function.

2

Similar.

3

Let

f

be a both monovalued and injective reloid. Then by proved above

there exist

F, G

GR

f

such that

F

is monovalued and

G

is injective. Thus

F

G

GR

f

is both monovalued and injective.

Conjecture

773

.

A reloid

f

is monovalued iff

g

RLD

(Src

f

; Dst

f

) : (

g

v

f

⇒ ∃A ∈

F

(Src

f

) :

g

=

f

|

A

)

.

7.7. Complete reloids and completion of reloids

Definition

774

.

A

complete

reloid is a reloid representable as a join of reloidal

products

A

{

α

} ×

RLD

b

where

α

A

and

b

is an ultrafilter on

B

for some sets

A

and

B

.

Definition

775

.

A

co-complete

reloid is a reloid representable as a join of

reloidal products

a

×

RLD

A

{

β

}

where

β

B

and

a

is an ultrafilter on

A

for some

sets

A

and

B

.

I will denote the sets of complete and co-complete reloids correspondingly as

ComplRLD

and

CoComplRLD

.

Obvious

776

.

Complete and co-complete are dual.

Theorem

777

.

FiXme

: Join two theorems (like as for funcoids).

1

. A reloid

f

is complete iff there exists a function

G

: Src

f

F

(Dst

f

) such

that

f

=

G

Src

f

{

α

} ×

RLD

G

(

α

)

α

Src

f

.

(13)

2

. A reloid

f

is co-complete iff there exists a function

G

: Dst

f

F

(Src

f

)

such that

f

=

G

G

(

α

)

×

RLD

Dst

f

{

α

}

α

Dst

f

.

Proof.

We will prove only the first as the second is symmetric.

. Let

f

be complete. Then take

G

(

α

) =

G

(

b

atoms

F

(Dst

f

)

Src

f

{

α

} ×

RLD

b

v

f

)

and we have (

13

obviously.

. Let (

13

hold. Then

G

(

α

) =

F

atoms

G

(

α

) and thus

f

=

G

Src

f

{

α

} ×

RLD

b

α

Src

f, b

atoms

G

(

α

)

and so

f

is complete.

Obvious

778

.

Complete and co-complete reloids are convex.