background image

7.6. MONOVALUED AND INJECTIVE RELOIDS

140

Corollary

769

.

Image and domain of reloids preserve joins.

Proof.

By properties of Galois connections and duality.

7.5. Categories of reloids

I will define two categories, the

category of reloids

and the

category of reloid

triples

.

The

category of reloids

is defined as follows:

Objects are small sets.

The set of morphisms from a set

A

to a set

B

is

RLD

(

A

;

B

).

The composition is the composition of reloids.

Identity morphism for a set is the identity reloid for that set.

To show it is really a category is trivial.

The

category of reloid triples

is defined as follows:

Objects are small sets.

The morphisms from a filter

A

to a filter

B

are triples (

A

;

B

;

f

) where

f

RLD

(Base(

A

); Base(

B

)) and dom

f

v A

, im

f

v B

.

The composition is defined by the formula (

B

;

C

;

g

)

(

A

;

B

;

f

) = (

A

;

C

;

g

f

).

Identity morphism for a filter

A

is id

RLD

A

.

To prove that it is really a category is trivial.

7.6. Monovalued and injective reloids

Following the idea of definition of monovalued morphism let’s call

monovalued

such a reloid

f

that

f

f

1

v

id

RLD

im

f

.

Similarly, I will call a reloid

injective

when

f

1

f

v

id

RLD

dom

f

.

Obvious

770

.

A reloid

f

is

monovalued iff

f

f

1

v

id

RLD

(Dst

f

)

;

injective iff

f

1

f

v

id

RLD

(Src

f

)

.

In other words, a reloid is monovalued (injective) when it is a monovalued

(injective) morphism of the category of reloids.

Monovaluedness is dual of injectivity.

Obvious

771

.

1

. A morphism (

A

;

B

;

f

) of the category of reloid triples is monovalued iff

the reloid

f

is monovalued.

2

. A morphism (

A

;

B

;

f

) of the category of reloid triples is injective iff the

reloid

f

is injective.

Theorem

772

.

1

. A reloid

f

is a monovalued iff there exists a function (monovalued binary

relation)

F

GR

f

.

2

. A reloid

f

is a injective iff there exists an injective binary relation

F

GR

f

.

3

. A reloid

f

is a both monovalued and injective iff there exists an injection (a

monovalued and injective binary relation = injective function)

F

GR

f

.

Proof.

The reverse implications are obvious. Let’s prove the direct implica-

tions: