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CHAPTER 7

Reloids

7.1. Basic definitions

Definition

731

.

I call a reloid from a set

A

to a set

B

a triple (

A

;

B

;

F

) where

F

F

(

A

×

B

).

Definition

732

.

Source

and

destination

of every reloid (

A

;

B

;

F

) are defined

as

Src(

A

;

B

;

F

) =

A

and Dst(

A

;

B

;

F

) =

B.

I will denote

RLD

(

A

;

B

) the set of reloids from

A

to

B

.

I will denote

RLD

the set of all reloids (for small sets).

Definition

733

.

GR(

A

;

B

;

F

)

def

=

F

, xyGR(

A

;

B

;

F

) =

n

(

A

;

B

;

K

)

K

F

o

for every

reloid (

A

;

B

;

F

). Note that xyGR(

A

;

B

;

F

) is a set of morphisms of the category

Rel

.

Definition

734

.

• ↑

RLD

(

A

;

B

)

f

= (

A

;

B

;

A

×

B

f

) for every relation

f

P

(

A

×

B

).

• ↑

RLD

f

= (Src

f

; Dst

f

;

Src

f

×

Dst

f

GR

f

) for every

Rel

-morphism

f

.

Definition

735

.

I call members of a set

RLD

Rel

(

A

;

B

) as

principal

reloids.

Reloids are a generalization of uniform spaces. Also reloids are generalization

of binary relations.

Definition

736

.

The

reverse

reloid of a reloid is defined by the formula

(

A

;

B

;

F

)

1

=

B

;

A

;

K

1

K

F

.

Note

737

.

The reverse reloid is

not

an inverse in the sense of group theory or

category theory.

Reverse reloid is a generalization of conjugate quasi-uniformity.

Definition

738

.

Every set

RLD

(

A

;

B

) is a poset by the formula

f

v

g

GR

f

v

GR

g

. We will apply lattice operations to subsets of

RLD

(

A

;

B

) without

explicitly mentioning

RLD

(

A

;

B

).

Obvious

739

.

The poset

RLD

(

A

;

B

) is isomorphic to the poset

F

(

A

×

B

) for

every sets

A

,

B

.

7.2. Composition of reloids

Definition

740

.

Reloids

f

and

g

are

composable

when Dst

f

= Src

g

.

Definition

741

.

Composition

of (composable) reloids is defined by the formula

g

f

=

l

RLD

(

G

F

)

F

xyGR

f, G

xyGR

g

.

Obvious

742

.

Composition of reloids is a reloid.

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