6.16. FILTERS CLOSED REGARDING A FUNCOID

131

Corollary

718

.

Every injective funcoid is metainjective.

Conjecture

719

.

Every metamonovalued funcoid is monovalued.

6.15.

T

0

-,

T

1

-,

T

2

-, and

T

3

-separable funcoids

For funcoids it can be generalized

T

0

-,

T

1

-,

T

2

-, and

T

3

- separability. Worthwhile

note that

T

0

and

T

2

separability is defined through

T

1

separability.

Definition

720

.

Let call

T

1

-separable

such endofuncoid

f

that for every

α, β

Ob

f

is true

α

6

=

β

⇒ ¬

(

{

α

}

[

f

]

{

β

}

)

.

Proposition

721

.

An endofuncoid

f

is

T

1

-separable iff Cor

f

v

id

FCD

(Ob

f

)

.

Proof.

x, y

Ob

f

: (

{

x

}

[

f

]

{

y

} ⇒

x

=

y

)

x, y

Ob

f

: (

{

x

}

[Cor

f

]

{

y

} ⇒

x

=

y

)

Cor

f

v

id

FCD

(Ob

f

)

.

Definition

722

.

Let call

T

0

-separable

such funcoid

f

FCD

(

A

;

A

) that

f

u

f

1

is

T

1

-separable.

Definition

723

.

Let call

T

2

-separable

such funcoid

f

that

f

1

f

is

T

1

-

separable.

For symmetric transitive funcoids

T

1

- and

T

2

-separability are the same (see

theorem

210

).

Obvious

724

.

A funcoid

f

is

T

2

-separable iff

α

6

=

β

⇒ h

f

i

{

α

} 6 h

f

i

{

β

}

for

every

α, β

Src

f

.

Definition

725

.

Regular funcoid

is an endofuncoid

f

such that

h

f

i

f

1

C

h

f

i

{

p

} ⇐

p /

C

for every

p

Ob

f

and

C

P

Ob

f

.

Obvious

726

.

Funcoid

f

is regular iff:

1

.

f

f

1

C

h

f

i

{

p

} ⇐

p /

C

;

2

.

f

1

f

f

1

C

Ob

f

{

p

} ⇐

p /

C

;

3

.

f

1

f

f

1

C

v↑

Ob

f

C

;

4

.

f

1

f

f

1

v

id

FCD

(Ob

f

)

.

Definition

727

.

An endofuncoid is

T

3

- iff it is both

T

2

- and regular.

6.16. Filters closed regarding a funcoid

Definition

728

.

Let’s call

closed

regarding a funcoid

f

FCD

(

A

;

A

) such

filter

A ∈

F

(Src

f

) that

h

f

iA v A

.

This is a generalization of closedness of a set regarding an unary operation.

Proposition

729

.

If

I

and

J

are closed (regarding some funcoid

f

),

S

is a set

of closed filters on Src

f

, then

1

.

I t J

is a closed filter;

2

.

d

S

is a closed filter.

Proof.

Let denote the given funcoid as

f

.

h

f

i

(

I t J

) =

h

f

iI t h

f

iJ v I t J

,

h

f

i

d

S

v

d

hh

f

ii

S

v

d

S

. Consequently the filters

I t J

and

d

S

are closed.