background image

6.14. MONOVALUED AND INJECTIVE FUNCOIDS

130

2

3

Let

a

atoms

F

(Src

f

)

,

h

f

i

a

=

b

.

Then because

b

atoms

F

(Dst

f

)

∪{⊥

F

(Dst

f

)

}

(

I u J

)

u

b

6

=

F

(Dst

f

)

⇔ I u

b

6

=

F

(Dst

f

)

∧ J u

b

6

=

F

(Dst

f

)

;

a

[

f

]

I u J ⇔

a

[

f

]

I ∧

a

[

f

]

J

;

I u J

f

1

a

⇔ I

f

1

a

∧ J

f

1

a

;

a

u

f

1

(

I u J

)

6

=

F

(Src

f

)

a

u

f

1

I 6

=

F

(Src

f

)

a

u

f

1

J 6

=

F

(Src

f

)

;

f

1

(

I u J

) =

f

1

I u

f

1

J

.

3

1

.

f

1

a

u

f

1

b

=

f

1

(

a

u

b

) =

f

1

F

(Dst

f

)

=

F

(Src

f

)

for every two

distinct ultrafilters

a

and

b

on Dst

f

. This is equivalent to

¬

(

f

1

a

[

f

]

b

);

b

 h

f

i

f

1

a

;

b

f

f

1

a

;

¬

(

a

f

f

1

b

). So

a

f

f

1

b

a

=

b

for every ultrafilters

a

and

b

. This is possible only when

f

f

1

v

id

FCD

(Dst

f

)

.

4

3

.

f

1

(

I u J

) =

l

h

f

i

(

I u J

) =

l

h

f

i

I

J

I

∈ I

, J

∈ J

=

l

h

f

i

(

I

J

)

I

∈ I

, J

∈ J

=

l

h

f

i

I

u h

f

i

J

I

∈ I

, J

∈ J

=

l

h

f

i

I

I

∈ I

u

l

h

f

i

J

, J

∈ J

=

f

1

I u

f

1

J

.

3

4

Obvious.

¬

2

⇒¬

1

Suppose

h

f

i

a

6

= atoms

F

(Dst

f

)

∪{⊥

F

(Dst

f

)

}

for some

a

atoms

F

(Src

f

)

.

Then there exist two atomic filters

p

and

q

on Dst

f

such that

p

6

=

q

and

h

f

i

a

w

p

∧ h

f

i

a

w

q

. Consequently

p

6 h

f

i

a

;

a

6

f

1

p

;

a

v

f

1

p

;

f

f

1

p

=

h

f

i

f

1

p

w h

f

i

a

w

q

;

f

f

1

p

6v

p

and

f

f

1

p

6

=

F

(Dst

f

)

. So it cannot be

f

f

1

v

id

FCD

(Dst

f

)

.

Corollary

715

.

A binary relation corresponds to a monovalued funcoid iff it

is a function.

Proof.

Because

I, J

P

(im

f

) :

f

1

(

I

J

) =

f

1

I

u

f

1

J

is true

for a funcoid

f

corresponding to a binary relation if and only if it is a function.

Remark

716

.

This corollary can be reformulated as follows: For binary rela-

tions (principal funcoids) the classic concept of monovaluedness and monovalued-

ness in the above defined sense of monovaluedness of a funcoid are the same.

Proposition

717

.

Every monovalued funcoid is metamonovalued.

Proof.

D

l

G

f

E

x

=

D

l

G

E

h

f

i

x

=

l

g

G

h

g

ih

f

i

x

=

l

g

G

h

g

f

i

x

=

*

l

g

G

(

g

f

)

+

x

for every ultrafilter

x

atoms

F

(Src

f

)

. Thus (

d

G

)

f

=

d

g

G

(

g

f

).